比較下列各數大小: (1) x=√6+3 y=√10+√5 z=√13+√2 (2)a=√10-√5 b=2√3-√7 c=√8-√3 利用乘法公式因式分解下列各式 (1)1+27x^3 (2)x^4-256 (3) (a+b)^4-(a-b)^4?

Sol
(1)
6+9=10+5=13+2
x=√6+3=√6+√9
x^2=15+2√54
y=√10+√5
y^2=15+2√100
z=√13+√2
z^2=15+2√52
So
y^2>x^2>z^2
x>0，y>0，z>0
y>x>z
(2)
10－5=12－7=8－3
a=√10－√5
=(√10－√5)(√10+√5)/(√10+√5)
=5/(√10+√5)
b=√12－√7
=(√12－√7)(√12+√7)/(√12+√7)
=5/(√12+√7)
c=√8－√3
=(√8－√3)(√8+√3)/(√8+√3)
=5/(√8+√3)
5/(√8+√3)>5/(√10+√5)>5/(√12+√7)
c>a>b
(4)
1+27x^3
=1^3+(3x)^3
=(1+3x)*(1－3x+9x^2)
(5)
x^4－256
(x^2)^2－(16)^2
=(x^2－16)(x^2+16)
=(x－4)(x+4)(x^2+16)
(6)
(a+b)^4－(a-b)^4
=[(a+b)^2－(a－b)^2]*[(a+b)^2+(a－b)^2]
=[(a+b)－(a－b)]*[(a+b)+(a－b)]*(2a^2+2b^2)
=2b*2a*2(a^2+b^2)
=8ab(a^2+b^2)

1)
x=√6+3=5.449489743
y=√10+√5=8.166227766
z=√13+√2=5.019764838
y>x>z

2)
a=√10-√5=0.926209682
b=2√3-√7=0.818350304
c=√8-√3=1.096376317
c>a>b

1)
1+27x^3
=(1+3x)*(1－3x+9x^2)

2)
x^4-256
=(x^2-16)(x^2+16)
=(x-4)(x+4)(x^2+16)

3)
(a+b)^4-(a-b)^4
=[(a+b)^2-(a-b)^2][(a+b)^2+(a-b)^2]
=[(a+b)-(a-b)][(a+b)+(a-b)][(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)]
=(2b)(2a)(2a^2+2b^2)
=8ab(a^2+b^2)