三角不等式 求最小值計算過程?

在 |X| + |Y| ≥ |X + Y| 中, 令 X = -a , Y = b 得
|-a| + |b| ≥ |-a + b| , 因 |-a| = |a| , 故此式等同於
|a| + |b| ≥ |-a + b|
代入 a = x-1 , b = x-2 得 |x-1| + |x-2| ≥ |-(x-1) + (x-2)| = |(1-x) + (x-2)| = |-1| = 1。
但以上並不保證 |x-1| + |x-2| 一定取到 1,
解 |x-1| + |x-2| = 1 得 1 < x < 2 , x = 1 或 x = 2 才可保證存在x使式子取到最小值1。
如直接由 |x-1| + |x-2| ≥ |x-1 + x-2| = |2x-3| , 則只有 x = 1 , x = 2 時取到等號, 1 < x < 2 時卻取不到等號!
這給我們啟示,運用三角不等式求最值應令目標為一常數, 這樣可求出x的範圍以肯定結果,
否則如這裡目標出現未知數 |2x-3| , 則結果不能肯定, 因為不是所有令式子取最小值的 x 都可用 |2x-3| 來表示
式子最小值的。