補習班的作業，超難!!全都不會寫各位大大幫幫忙啊!!!!?

1.
設王子 n 人, 每人皆分得 k 份財物
故財物總份數為 nk
第一人得 = k = 1 + ( nk - 1 )/10 ..... (1式)
第二人得 = k = 2 + ( nk - k - 2 )/10 ..... (2式)
第三人得 = k = 3 + ( nk - 2k - 3 )/10
...........................
第n人得 = k = n + [ nk - (n-1)k - n ]/10 ..... (n式)

由 (1式)*10 得:
10k = 10 + nk -1 = nk + 9
nk = 10k - 9 且 n = ( 10k - 9 )/k = 10 - 9/k , 代入(2式)*10

10k = 20 + nk - k - 2 = 20 + 10k - 9 - k - 2 = 9k + 9
k = 9
n = 10 - 9/k = 10 - 9/9 = 9

雖已解出 n, k , 但還是需要代入一般項 (n式) , 若無矛盾才確定是解:
9 = n + [ nk - (n-1)k - n ]/10 = 9 + [ 9*9 - 8*9 - 9 ]/10 = 9 + ( 81 - 72 - 9 )/10 = 9
9 = 9 , 故對所有 n 皆成立
Ans: 波斯王有 9 個王子
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2.
設此四數分別為 a, b, c, d , 且總合為 S
62 = S - a (總合扣掉其中一數, 即為另外三數和)
70 = S - b
75 = S - c
81 = S - d
以上四式相加, 等式恆成立:
62 + 70 + 75 + 81 = 4S - (a+b+c+d)
288 = 4S - S
S = 288/3 = 96
a = S - 62 = 96 - 62 = 34
b = 96 - 70 = 26
c = 96 - 75 = 21
d = 96 - 81 = 15
Ans: 34 , 26 , 21 , 15
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3.
Ans: 不能, 證明如下:
pf :
設最終可將13個杯子全部朝下, 即:
第 1 個杯子經過 2*K1 + 1 次翻轉, (奇數次翻轉才能朝上變朝下,偶數次則仍然朝上)
第 2 個杯子經過 2*K2 + 1 次翻轉,
...............
第 13 個杯子經過 2*K13 + 1 次翻轉,
其中 K1, K2, ..... , K13 皆為正整數,
所以,

總翻轉數
= 2*K1 + 1 + 2*K2 + 1 + ..... + 2*K13 + 1
= 2*( K1 + K2 + ..... + K13 ) + 13
= 2*( K1 + K2 + ..... + K13 + 6 ) + 1
= 2m + 1 , 其中 m = K1 + K2 + ..... + K13 + 6 為正整數

又因為每次翻轉其中四個杯子, 故:
總翻轉數 = 4n , 其中 n 為正整數

所以,
總翻轉數 = 2m + 1 = 4n
2m + 1 為奇數, 4n 為偶數
因此上式為 奇數 = 偶數, 矛盾,
即 "最終可將13個杯子全部朝下" 之假設是錯的, 所以不可能
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4.
將這題想成連連看,
例如: 甲讀C , 丁讀B , 丁讀F , 則連線數 = 3
設 己 同學讀過 x 本書; 書 F 被小組中的 y 位同學讀過
由此題知:
總連線數 = 2+2+4+3+5+ x = 1+4+2+2+2 + y , 其中 x, y 皆為介於 1 到 6 的整數
16 + x = 11 + y
當 x = 1 , y = 17-11 = 6
當 x ≧ 2 , 16+x ≧ 18 , 即 11+y ≧ 18 , 故 y ≧ 7 , 不合
Ans: 己同學讀過 1 本書; 書F被小組中的 6 位同學讀過
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5.
時針轉速 = 1圈 / 12小時 = 360° / 720分 = 0.5 °/分 (也就是每分鐘旋轉0.5度)
分針轉速 = 1圈 / 60分 = 360° / 60分 = 6 °/分
令12點整的位置為 0° , 且順時針方向為正的度數
當 12 點 t 分時:
時針位置的度數 = 0.5t
分針位置的度數 = 6t
兩者夾角 = 6t - 0.5t = 55
t = 55 / 5.5 = 10

360 - 55 = 305
當兩者夾角 305°, 其銳角看起來也是 55°
6t - 0.5t = 305
t = 305 / 5.5

外出時間 = 305/5.5 - 55/5.5 = 250/5.5 ≡ 500/11 分 ≒ 45分 27秒
Ans: 500/11 分
( ≒ 45分 27秒 )