在一坐標平面上，1在原點位置，將自然數由小到大依逆時針方向旋轉排列，如圖(影片)所示。則數字226出現在此坐標平面之座標為何？數字1999出現在此坐標平面之座標為何？

(1)
觀察此排列可發現:
核心第1層由數字 1 形成一個 1*1 的矩陣,
第1~2層由數字 1~9 形成一個 3*3 的矩陣,
第1~3層由數字 1~25 形成一個 5*5 的矩陣,
可歸納第 k 層的右上角數字為 (2k-1)^2 , 座標為 ( k-1 , k-1 )
例如:
第 3 層的右上角數字為 (2*3 - 1)^2 = 25 , 座標為 ( 2 , 2 )

√226 ≒ 15.03
226 = 15^2 + 1 = 225 + 1 , 因此應先計算 225 的座標
(2k-1)^2 = 15^2
2k - 1 = 15
k = 8 , 即 225 在第 8 層的右上角
225 的座標 = ( k-1 , k-1 ) = ( 7 , 7 )

10 在 9 的正上方, 26 在 25 的正上方, 所以 226 也在 225 的正上方,
因此 226 的座標 = ( 7 , 7+1 ) = ( 7 , 8 )

(2)
√1999 ≒ 44.71 , 最接近的奇數是 45
(2k-1)^2 = 45^2 = 2025 , 因此應先計算 2025 的座標
2k - 1 = 45
k = 23 , 即 2025 在第 23 層的右上角
2025 的座標 = ( k-1 , k-1 ) = ( 22 , 22 )

第 1~23 層為 45*45 的方陣, 因此一行的數字有 45 個,
2025 - 1999 = 26 < 45
故 2025 與 1999 在同一行, 即 x 座標相同.
至於 1999 的 y 座標如何求? 以下用第 3 層來示範:

數字 25 的座標為 ( 2 , 2 ) , 求數字 22 的座標?
Sol:
設此座標為 ( 2 , y )
25 - 22 = 2 - y
y = - 1 , 所以 22 的座標為 ( 2 , - 1 )

仿照以上方法,
2025 - 1999 = 22 - y
y = 22 - 26 = - 4
故 1999 的座標為 ( 22 , - 4 )

Ans: 226 的座標為 ( 7 , 8 ) , 1999 的座標為 ( 22 , - 4 )