兩條題，1)等差求和法應用題，2)已知等比數列首7項之和及無限之和，求首項及公比。?

1) 某個數列首 k 項之和是 k² + 5k。求該數列的第五項。

首 5 項之和 = 5² + 5(5) = 50
首 4 項之和 = 4² + 5(4) = 36
第五項 = 首 5 項之和 - 首 4 項之和 = 50 - 36 = 14


2) 等比數列首 7 項之和：78124，無限之和是 78125。求首項及公比。

設 a, r, n 分別為首項、公比及項數
等比數列首 n 項之和公式 = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
無限之和公式 = a/(1 - r)

a(r⁷ - 1)/(r - 1) = 78124
a(1 - r⁷)/(1 - r) = 78124 ...... ①
a/(1 - r) = 78125 ...... ②
①/②：
[a(1 - r⁷)/(1 - r)] / [a/(1 - r)] = 78124/78125
1 - r⁷ = 78124/78125
r⁷ = 1/78125
r = 1/5
代 r = 1/5 入 ②
a/(1 - 1/5) = 78125
a = 62500
首項：62500
公比：1/5

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等比級數首 n 項之和的公式
設 a, r, Sn 分別為首項，公比及首 n 項之和
Sn = a + ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ⁻¹ ...... ①
r Sn =　 ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ⁻¹ + arⁿ ...... ②
② - ①：
r Sn - Sn = (ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ + arⁿ) - (a + ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ⁻¹)
(r - 1)Sn = arⁿ - a
Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

等比級數無限項之和的公式
( 假設 -1 < r < 1 )
Sn
= a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= arⁿ/(r - 1) - a/(r - 1)
= arⁿ/(r - 1) + a/(1 - r)

當 n 趨向無限，rⁿ 趨向 0，arⁿ/(r - 1) 趨向 0
則等比級數無限項之和的公式 = a/(1 - r)

2)答案係首=62500公比：1/5先岩