degf(x)>=4,若以x^-1除f(x)得餘式為3x+1,以x^+1除f(x)得餘式為2x-3,則以(x^-1)(x^+1)除f(x)得餘式為?

因為 f(x )除 x² - 1 得餘式 3x+1
所以 f(1) = 4 , f(-1 ) = -2
因為 f(x) 被 (x² - 1)(x² + 1)除之後的餘式可能為三次式
所以設 f(x) = (x² - 1)(x² + 1)*Q(x) +(ax+b)(x² + 1) + 2x-3
若用 x = 1 代入
f(1) = 0 + (a+b)(1+1) + (2-3) = 4
得關係式 2a + 2b = 5
若用 x = -1 代入
f(-1) = 0 + (-a+b)(1+1) + (-2-3) = -2
得關係式 -2a + 2b = 3
解聯立方程式
2a + 2b = 5
-2a + 2b = 3
得 a = 1/2 , b = 2
∴ f(x) 除 (x^-1)(x^+1)的餘式為 ((1/2)x + 2)(x² + 1) + 2x-3
即 (1/2)x³ + 2x² + (5/2)x - 1

由於 x² + 1 除以 f(x) 得餘式為 3x + 1，
故可設 (x² - 1)(x² + 1) 除以 f(x) 得餘式 (ax + b)(x² + 1) + (2x - 3)。
設 g(x) = 3x + 1

因為 (x² - 1) 除以 f(x) 的餘數為 g(x)，而 (x + 1) 為 (x² - 1) 的因式，
所以 (x + 1) 除以 f(x) 的餘數，與 (x + 1) 除以 g(x) 的餘數相等。
f(-1) = g(-1)
[a(-1) + b][(-1)² + 1] + [2(-1) - 3] = 3(-1) + 1
2(-a + b) - 5 = -2
2a - 2b = -3 ...... [1]

同理 (x - 1) 除以 f(x) 的餘數，與 (x - 1) 除以 g(x) 的餘數相等。
f(1) = g(1)
[a(1) + b][(1)² + 1] + [2(1) - 3] = 3(1) + 1
2(a + b) - 1 = 4
2a + 2b = 5 ...... [2]

[1] + [2]：
4a = 2
a = 1/2

[2] - [1]：
4b = 8
b = 2

(x² - 1)(x² + 1) 除以 f(x) 得餘式
= [(1/2)x + 2](x² + 1) + (2x - 3)
= (1/2)x³ + 2x² + (1/2)x + 2 + 2x - 3
= (1/2)x³ + 2x² + (5/2)x - 1

Sol
f(x)=m(x)(x^2－1)(x^2+1)+a(x－1)(x^2+1)+b(x^2+1)+2x－3
f(1)=b*2+2－3=3*1+1
b=2.5
f(－1)=a*(－2)*2+2.5*2－2－3=－3+1
－4a=－2
a=1/2
a(x－1)(x^2+1)+b(x^2+1)+2x－3
=(1/2)(x^3－x^2+x－1)+(5/2)*(x^2+1)+2x－3
=x^3/2+2x^2+5x/2－1