in how many different ways can two integers x and y (where x>y) be chosen from 1 to 30 (包括首尾兩數) such that the hcf of x+y and x-y is 1?

明顯 x , y 一奇一偶, 否則 HCF 最少為 2.
考慮奇偶兩組數:
1 , 3 , 5 , ... , 27 , 29
2 , 4 , 6 , ... , 28 , 30 , 則 x , y 異組.
若 x+y 與 x-y 有最大公因數 p , 則 p ≠ 2 , 於是 x+y + x-y = 2x 及 x+y - (x-y) = 2y 有最大公因數 p ,
由 p ≠ 2 知 x , y 的最大公因數是 p. 故 x+y 與 x-y 有最大公因數 1 等同於 x , y 互質.
奇偶兩組各取1數共 15 × 15 = 225 組 (x , y).

3 , 9 , 15 , 21 , 27
6 , 12 , 18 , 24 , 30
The HCF of x , y is 3 的有 5 × 5 = 25 組,

5 , 15 , 25
10 , 20 , 30
The HCF of x , y is 5 的有 3 × 3 = 9 組,

7 , 21
14 , 28
The HCF of x , y is 7 的有 2 × 2 = 4 組,

(x , y) = (22 , 11) and (x , y) = (26 , 13) 共 2 組.

以上重計了一次 The HCF of x , y is 3 × 5 = 15 的有 (30 , 15) 共 1 組.

There are 225 - 25 - 9 - 4 - 2 + 1 = 186 ways.