Let x,y,z be real numbers such that (x-15)^2+(y-20)^2 smaller or equals to49 and 10y=zx. Find the greatest possible value of z.?

( x - 15 )^2 + ( y - 20 )^2 ≦ 7^2
此不等式表示在平面上的一個實心圓, 圓心在 ( 15 , 20 ) , 半徑為 7

10y = zx
y = ( z / 10 ) x
令 y = ( z / 10 ) x = mx
此為通過原點, 斜率為 m 的直線方程式, 當斜率 m 最大時, z 有最大值,
此時 y = mx 恰與圓相切
( x - 15 )^2 + ( mx - 20 )^2 = 7^2
x^2 - 30x +225 + m^2*x^2 - 40mx + 400 = 49
( m^2 + 1 )x^2 - ( 40m + 30 )x + 576 = 0

因為此直線與圓相切, 所以只有一個解(重根), 故判別式:
D = ( 40m + 30 )^2 - 4( m^2 + 1 )*576 = 0
( 20m + 15 )^2 - 576( m^2 + 1 ) = 0
400m^2 + 600m + 225 - 576m^2 - 576 = 0
176m^2 - 600m + 351 = 0

m
= [ 600 ± √( 600^2 - 4*176*351 ) ] / ( 176 * 2 )
= ( 600 ± 336 ) / ( 176 * 2 )
= ( 300 ± 168 ) / 176
= ( 300 + 168 ) / 176 , 因為 m 要取最大值, 故負號的解剔除
= 468/176

m = 468/176 = z / 10
z = 468*10/176 = 585/22 ≒ 26.59

Ans: z = 585/22
( ≒ 26.59 )