maximum points, minimum points?

f = x^3 / ( x^2-3x+2 )

f '
= [ 3x^2*( x^2-3x+2 )^2 - x^3( 2x - 3 ) ] / ( x^2-3x+2 )^2
= ( 3x^4 - 9x^3 + 6x^2 - 2x^4 + 3x^3 ) / ( x^2-3x+2 )^2
= ( x^4 - 6x^3 + 6x^2 ) / ( x^2-3x+2 )^2 ..... (1式)
= x^2 ( x^2 - 6x + 6 ) / ( x^2-3x+2 )^2

極值發生在 f ' = 0 , 也就是 :
x^2 ( x^2 - 6x + 6 ) = 0
x = 0 , [ 6 ± √(36-24) ]/2 = 3 ± √3
所以極值發生在以下三個臨界點 :
x = 0 , 3-√3 , 3+√3
其中 3-√3 ≒ 1.3 , 3+√3 ≒ 4.7

接下來, 可利用 f '' 來判斷圖形凹口方向, 藉以確定是極大還是極小,
但計算出 f '' , 再代入這三個臨界值, 顯然工程浩大, 所以改用以下替代方法:
取臨界值鄰近的點, 代入 (1式) 計算:
f ' ( - 1 ) = (1+6+6) / (1+3+2)^2 = 13/36 > 0
f ' ( 1/2 )= ( 1/16 - 6/8 + 6/4 ) / ( 1/4 - 3/2 + 2 )^2 = (13/16) / (9/16) = 13/9 > 0
f ' ( 3 ) = ( 81 - 6*27 + 6*9 ) / (9-9+2)^2 = - 27/4 < 0
f ' ( 5 ) = ( 625 - 6*125 + 6*25 ) / (25-15+2)^2 = 25/144 > 0

在幾何意義上, f ' 的值代表斜率, 所以由以上計算可知遞增遞減情況為:
↗ 0 ↗ 3-√3 ↘ 3+√3 ↗
0 的左邊遞增, 右邊也遞增, 所以此點為反曲點.
3-√3 的左邊遞增, 右邊遞減, 所以此點為 max .
3+√3 的左邊遞減, 右邊遞增, 所以此點為 min .

Ans:
最大值在 x = 3 - √3
最小值在 x = 3 + √3

註:
當然, 按照題意, 更精確的解為 max point = ( 3-√3 , f(3-√3) )
所以還要算出 f(3-√3) , 這部份比較容易, 請自行計算.....
min point 也是類似算法.