圓內接四邊形ABCD，邊AB>邊BC，邊DA=邊DC，已知 ∠ADC=90度，邊AB＋邊BC=18，邊AC × 邊BD=54根號10，求圓面積扣掉四邊形ABCD面積後剩下的面積？

解法一(托勒密定理,適合高中):

因∠ADC=90°,故AC為直徑= 2r , 得DA = DC = √2r, 依托勒密定理有
DA * BC + DC * AB = AC * BD
√2r * BC + √2r * AB = 54√10
√2r (BC + AB) = 54√10
18√2r = 54√10
r = 3√5

又 AC² = AB² + BC²
AC² = (AB + BC)² - 2AB * BC
(6√5)² = 18² - 2AB * BC
AB * BC = 72

圓面積扣掉四邊形ABCD面積後剩下的面積
= π (3√5)² - (△ADC + △ABC)
= 45π - (AD*DC/2 + AB*BC/2)
= 45π - (√2r *√2r /2 + 72/2)
= 45π - (r² + 36)
= 45π - (45 + 36)
= 45π - 81

解法二(旋轉變換,適合初中):

以D為旋心把△ADB轉到AD重合CD, 記此時B的新位置為B',
則在△BDB' 中, ∠BDB' = 90° 且 BD = DB' , 再由∠BAD互補對角∠BCD知 BCB' 成直線,
故而△BDB' 為等腰直角三角形, 其斜邊 BB' = BC + AB = 18, 於是 BD = 18/√2 ,
則四邊形ABCD = △BDB' = (18/√2)² / 2 = 81 ;
又 AC × BD = 54√10 ⇒ AC × 18/√2 = 54√10 ⇒ AC = 6√5 ⇒ r = 3√5 ,
圓面積扣掉四邊形ABCD面積後剩下的面積 = π (3√5)² - 81 = 45π - 81