線性代數(內積空間)?

以下假設是 real inner product space.
若是 complex inner product space, 部分式子需稍做修正.
但基本上是一樣的.

若 {u_1,...,u_n} 是一個規格正交基, 則存在
v = c_1 u_1 + ... + c_n u_n
滿足 <v,u_j> = c_j., j=1,...,n.
假設 u 也滿足 <u,u_j> = c_j, j=1,...,n.
令 u = b_1 u_1 + ... + b_n u_n, 則 <u,u_j> = b_j, j=1,...,n.
故 b_j = c_j, j=1,...,n. 即: u=v. 因此, v 是唯一的.

若 {u_1,...,u_n} 不是規格正交基, 則可用 施密特規格正交化程序,
得一組規格正交基
v_1 = a_{11} u_1
v_2 = a_{12}u_1 + a_{22}u_2
:
:
v_n = a_{1n}u_1 + ... + a_{nn}u_n
這程序是可逆的, 即可表示成
u_1 = b_{11} v_1
u_2 = b_{12} v_1 + b_{22} v_2
:
:
u_n = b_{1n} v_1 + ... + b_{nn} v_n
因此, <v,u_j> = c_j 的條件等價於
<v,v_j> = a_{1j> c_1 + ... + a_{jj} c_j, j=1,...,n.
所以 v 之存在性及唯一性得證.