請問:有沒有國中生可以懂得數學解法?

若現在的國中有教以下兩樣, 則可解此題:
1. 解析幾何, 直角座標系統
2. 圓方程式

Sol :
設 EF 以逆時針方向繞此正方形滑動,
( 當然也可用順時針來解, 不影響答案 )
先引入直角座標系統如下:
令 B為原點, BC 為 x 軸正向, BA 為 y 軸正向,
即 B = ( 0 , 0 ) , A = ( 0 , 4 ) , C = ( 4 , 0 )

(1)
當 E = A , F 在 AB 上 , 以此為滑動起點 , 此時:
E = ( 0 , 4 ) , F = ( 0 , 3 ) , M = ( 0 , 3.5 )

(2)
然後 EF 貼著 AB直線滑動 , 直到 F = B , 此時:
E = ( 0 , 1 ) , F = ( 0 , 0 ) , M = ( 0 , 0.5 )

(1) ~ (2) 的過程, M 的軌跡顯然是直線,
這段直線長 = 3.5 - 0.5 = 3

(3)
(2) 之後 EF 開始傾斜,
設 BE = p , BF = q , 即 E = ( 0 , p ) , F = ( q , 0 )
由畢氏定理得 BE^2 + BF^2 = EF^2
p^2 + q^2 = 1 ... (1式)
設 M = ( x, y ) , 因為 M 是 E, F 中點, 所以:
M = ( x , y ) = ( q/2 , p/2 )
x = q/2 , y = p/2
q = 2x , p = 2y , 代入(1式)得:
(2y)^2 + (2x)^2 = 1
4x^2 + 4y^2 = 1
x^2 + y^2 = (1/2)^2 , 此為圓方程式, 圓心為 ( 0 , 0 ) , 半徑為 1/2
故此時 M 點軌跡為圓, 圓心在 B

(4)
當 E = B , 傾斜終止, 此時:
E = ( 0 , 0 ) , F = ( 1 , 0 ) , M = ( 0.5 , 0 )

EF 在傾斜過程中, M 點軌跡為圓弧 , 此圓弧的圓心為 B , 半徑為 1/2
圓弧起點為 ( 0 , 0.5 ) , 圓弧終點為 ( 0.5 , 0 ) ,
因此為 1/4 的圓周長
( 因為圓方程式 x^2 + y^2 = (1/2)^2 均衡的繞四個象限, 實際軌跡只在第一象限, 故為1/4 )


因為正方形有 4 個邊, 4 個角 , 所以:
軌跡總長
= 4 * [ 一邊的直線軌跡長 + (1/4)的圓周長 ]
= 4*3 + 圓周長
= 12 + 2π(1/2)
= 12 + π ..... Ans