數學概率問題:得到的答案不一樣?

更新：

1. 的算式〔 (1/2)*[(1/4)*(3/5) + (1/4)*(2/5) + (1/4)*(1/5)] + (1/2)* [(1/5)*(3/4) + (1/5)*(2/4) + (1/5)*(1/4)] 〕

先看 (1/2)*[(1/4)*(3/5) + (1/4)*(2/5) + (1/4)*(1/5)] = (1/2)*(1/4)*(3/5) + (1/2)*(1/4)*(2/5) + (1/2)*(1/4)*(1/5)
乘以 1/2 是強調先從 A 袋中抽出一張卡，然後再從 B 袋中抽出一張卡

(1/2)*[(1/5)*(3/4) + (1/5)*(2/4) + (1/5)*(1/4)] = (1/2)*(1/5)*(3/4) + (1/2)*(1/5)*(2/4) + (1/2)*(1/5)*(1/4)
乘以 1/2 是強調先從 B 袋中抽出一張卡，然後再從 A 袋中抽出一張卡



而 1. 的思路是考慮兩個情況，在這兩個情況下如何得出兩個數字之和小於 9
情況一是先從 A 袋中抽出一張卡，再從 B 袋中抽出一張卡
情況二是先從 B 袋中抽出一張卡，再從 A 袋中抽出一張卡


當然，1. 的算式也可以理解為【二、】的情況

___________________________________________________________________________________


這個問題主要是考慮算式上的「分子與分母」
在 2. 中，分母沒有考慮次序，但分子有考慮排列，所以答案不是 3/5


【一、】
原本題目：
A 袋內有 4 張卡，分別記有數字 1，3，5，7。而 B 袋內有 5 張卡，分別記有數字 2，4，6，8，10。現從每袋中各隨機抽出一張卡，求所抽出的兩個數字之和小於 9 的概率。

算式：(1/4)*(3/5) + (1/4)*(2/5) + (1/4)*(1/5) = 3/10
分母都是 4*5 = 20，20 是代表在 A, B 袋內各抽出一張卡（ 沒有考慮排列 ）

不妨看看抽出來的結果
(1,2)　(1,4)　(1,6)　(1,8)　(1,10)
(3,2)　(3,4)　(3,6)　(3,8)　(3,10)
(5,2)　(5,4)　(5,6)　(5,8)　(5,10)
(7,2)　(7,4)　(7,6)　(7,8)　(7,10)
總數為 20 個（ 沒有考慮排列 ）

⇒ 分母沒有考慮排列 且 分子也沒有考慮排列



【二、】
若考慮排列，原本算式的分母就要 ×2，但算式的分子也要 ×2
算式：(2*1*3)/(2*4*5) + (1*2)/(2*4*5) + (2*1*1)/(2*4*5) = 3/10
分母都是 2*4*5 = 40，40 是代表在 A, B 袋內各抽出一張卡 及作出排列（ 有考慮排列 ）
分子也需要 ×2 是因為題目是問所抽出的兩個數字之和小於 9 的概率，即排列後兩個數字之和還是小於 9

不妨看看抽出來的結果
(1,2)　(2,1)　(1,4)　(4,1)　(1,6)　(6,1)　(1,8)　(8,1)　(1,10)　(10,1)
(3,2)　(2,3)　(3,4)　(4,3)　(3,6)　(6,3)　(3,8)　(8,3)　(3,10)　(10,3)
(5,2)　(2,5)　(5,4)　(4,5)　(5,6)　(6,5)　(5,8)　(8,5)　(5,10)　(10,5)
(7,2)　(2,7)　(7,4)　(4,7)　(7,6)　(6,7)　(7,8)　(8,7)　(7,10)　(10,7)
總數為 40 個（ 有考慮排列 ）

⇒ 分母有考慮排列 且 分子也有考慮排列



【三、】
而 2. 的算式只有分子 ×2
這代表分子有考慮排列，但分母沒有考慮排列
⇒ 分子的總數（40）與分母（20）不符
所以答案不是 3/5

⇒ 分母沒有考慮排列 而 分子有考慮排列



【四、】
至於這題為甚麼可以只是分子 ×2，分母無需 ×2 呢 ?
A, B, C, D, E 有 5 個座位 _ , _ , _ , _ , _，求
(a) B 坐在 A 後面第一個座位的機率
(b) A 坐在 B 後面第一個座位 或 B 坐在 A 後面第一個座位 的機率

(a) B 坐在 A 後面第一個座位
可考慮為 AB 是同一個人，則 (AB), C, D, E
機率 = 4! / 5! = 1/5

AB 是沒有考慮排列
⇒ 分母有考慮排列 而 分子沒有考慮排列

(b) A 坐在 B 後面第一個座位 或 B 坐在 A 後面第一個座位 的機率
可考慮為 AB 是同一個人，則 (AB), C, D, E 或 (BA), C, D, E
機率 = 2*4! / 5! = 2/5

因為 4! 是代表 A, B 沒有考慮排列
而 5! 是代表 A, B 有考慮排列
所以 4! 可以 ×2 （代表 A, B 有考慮排列）
⇒ 分母有考慮排列 且 分子也有考慮排列





總結：
　　　　　　　　 分子可以考慮排列（考慮次序）
分母有考慮排列〈
　　　　　　　　 分子可以不考慮排列（不考慮次序）

分母沒有考慮排列 — 分子不可以考慮排列（不考慮次序）