變分問題2 條怎樣做? 請詳細說明 thank you?

02 (a)
[ ∵ 其中一部份隨 P 正變，另一部份隨 P 的平方正變 ]
∴ A = k₁ P + k₂ P²

[ 利用已知的資料找出 k₁ 及 k₂ ]
當 P = 24，A = 36
36 = 24 k₁ + 24² k₂
36 = 24 k₁ + 576 k₂
2 k₁ + 48 k₂ = 3 ...... ①

當 P = 18，A = 9
9 = 18 k₁ + 18² k₂
9 = 18 k₁ + 324 k₂
2 k₁ + 36 k₂ = 1 ...... ②

[ 現在解二元一次方程 ]
{ 2 k₁ + 48 k₂ = 3 ...... ①
{ 2 k₁ + 36 k₂ = 1 ...... ②
① - ②：
( 2 k₁ + 48 k₂ ) - ( 2 k₁ + 36 k₂ ) = 3 - 1
12 k₂ = 2
k₂ = 1/6
代 k₂ = 1/6 入 ②
2 k₁ + 36 (1/6) = 1
2 k₁ + 6 = 1
k₁ = (1 - 6)/2 = -5/2

∴ A = - 5P/2 + P²/6
A = P²/6 - 5P/2

(bi)
已知面積 ( A ) 為 54 cm²，求周界 ( P )
54 = P²/6 - 5P/2
P² - 15 P - 324 = 0
(P - 27) (P + 12) = 0
P = 27　或 -12 ( 捨去，因為 P > 0 )
∴ 該書簽的周界 = 27 cm

(bii)
[ 書簽製造商欲生產一與最暢銷的紙簽形狀相似的金裝迷你書簽 ]
[ 因為題目並沒有說過這個金裝迷你書簽是符合 A = P²/6 - 5P/2 這算式 ]
[ 所以不能代這個面積 = 8 入 A = P²/6 - 5P/2 以求其周界 ]
[ 但題目指金裝迷你書簽與最暢銷的紙簽形狀相似，所以可利用「相似」的特性來求周界 ]
設
P₁ = 金裝迷你書簽的周界
A₁ = 金裝迷你書簽的面積 ( = 8 )
P₂ = 最暢銷的紙簽的周界 ( = 27 )
A₂ = 最暢銷的紙簽的面積 ( = 54 )

∵ 金裝迷你書簽與最暢銷的紙簽形狀相似
A₁ / A₂ = (P₁ / P₂)²
8 / 54 = (P₁ / 27)²
P₁ / 27 = √(4 / 27)
P₁ = 27 (2 / √27) = 2 √27 = 2 (3√3) = 6√3
∴ 其周界 = 6√3 cm



03 (a)
[ 一部份隨 L 正變，另一部份隨 L 的平方正變 ]
∴ V = k₁ L + k₂ L²

[ 利用已知的資料找出 k₁ 及 k₂ ]
當 L = 10，V = 30
30 = 10 k₁ + 10² k₂
30 = 10 k₁ + 100 k₂
k₁ + 10 k₂ = 3 ...... ①

當 L = 15，V = 75
75 = 15 k₁ + 15² k₂
75 = 15 k₁ + 225 k₂
k₁ + 15 k₂ = 5 ...... ②

[ 現在解二元一次方程 ]
{ k₁ + 10 k₂ = 3 ...... ①
{ k₁ + 15 k₂ = 5 ...... ②
② - ①：
( k₁ + 15 k₂ ) - ( k₁ + 10 k₂ ) = 5 - 3
5 k₂ = 2
k₂ = 2/5
代 k₂ = 2/5 入 ①
k₁ + 10 (2/5) = 3
k₁ + 4 = 3
k₁ = 3 - 4 = -1

∴ V = - L + 2L²/5
V = 2L²/5 - L　　, 5 ≤ L ≤ 25

(b)
當 V ≥ 30 時，求 L 的取值範圍
V ≥ 30
2L²/5 - L ≥ 30
2L² - 5L ≥ 150
2L² - 5L - 150 ≥ 0
(2L + 15) (L - 10) ≥ 0
L ≤ -15/2 ( 捨去，因為 5 ≤ L ≤ 25 )　或　L ≥ 10

∵ 5 ≤ L ≤ 25 及 L ≥ 10
∴ 10 ≤ L ≤ 25
L 的取值範圍為 10 ≤ L ≤ 25