整數對(x,y)滿足等式： x^2+x=y^4+y^3+y^2+y 請解出所可能的整數對(x,y)；一共會有n對。再考慮每一對的絕對值和|x|+|y|， 令m為這數的極大值。則m+n=? ps:我知道這題之前有人問過了,但因為詳解的圖檔已經看不到了,所以只好再求高手解答?

x² + x = y⁴+ y³ + y² + y
4x² + 4x + 1 = 4y⁴+ 4y³ + 4y² + 4y + 1
(2x + 1)² = (4y⁴+ 4y³ + y²) + 3y² + 4y + 1
(2x + 1)² = (2y² + y)² + (y + 1)(3y + 1) ,
則當 (y + 1)(3y + 1) > 0 即 y < -1 及 y > 1/3 > 0 時, 有 (2y² + y)² < (2x + 1)² ;
另一方面,
(2y² + y + 1)² = 4y⁴+ y² + 1 + 2(2y³ + y + 2y²)
(2y² + y + 1)² = 4y⁴+ 4y³ + 5y² + 2y + 1 = (4y⁴+ 4y³ + 4y² + 4y + 1) + y² - 2y
(2y² + y + 1)² = (2x + 1)² + y(y - 2) , 則當 y(y - 2) > 0 即 y < 0 及 y > 2 時有 (2x + 1)² < (2y² + y + 1)² ,
綜合上述結果就是當 y < - 1 及 y > 2 時有 (2y² + y)² < (2x + 1)² < (2y² + y + 1)² ,
但 (2y² + y)² 和 (2y² + y + 1)² 為相鄰平方數, 它們之間沒可能存在平方數 (2x + 1)², 矛盾!
故此當 y < - 1 及 y > 2 時等式無整數解, 僅當 y = - 1 , 0 , 1 或 2 時才可能有解,
當 y = - 1 , 則 x² + x = 0 ⇒ x = 0 或 x = - 1 , 得(x , y) = (0 , - 1) 或 (- 1 , - 1) ;
當 y = 0 , 則 x² + x = 0 ⇒ x = 0 或 x = - 1 , 得(x , y) = (0 , 0) 或 (- 1 , 0) ;
當 y = 1 , 則 x² + x = 4 無整數解 ;
當 y = 2 , 則 x² + x = 30 ⇒ x = 5 或 x = - 6 , 得(x , y) = (5 , 2) 或 (- 6 , 2) ,
綜上整數對 (x , y) 共 n = 6 對, 每一對的絕對值和 |x| + |y| 的極大值 m = |- 6| + |2| = 8 ,
則 m + n = 6 + 8 = 14.