微積分兩個方程式相切問題?

沒有一個是令人滿意的解答。還有得答案有錯去提醒他也不會更改。
為了以防有人看到這篇問答之後仍有疑惑我另外作答。

首先，稱y=-x^2為g(x)、y=x^2+1為f(x)，以下簡稱為g、f；再設一式子y=mx+c為我們索求之切線方程式。
*(y=mx+c是普通的切線方程式的定義式；一般的切線方程式為y-a=m(x-b)，但是拆開之後就會得到y=mx+(-b+a)而-b+a的部分為常數，為了方便會直接令他為c)

假設g有一點為g(a)稱之為A點、與f(b)稱之為B點；A、B兩點是我們所要的兩個會成為相切的切線方程式之切點。
故，A點為(a,-a^2)、B點為(b,b^2+1)；分別帶入y=mx+c會得到兩式
-a^2=ma+c
b^2+1=mb+c
再來求斜率m，分別對g(a)、f(b)作微分會得到m=-2a、m=2b然而因為我們之前是將這兩點定義在同一條的切線方程式上，故這兩個斜率會是相等的，所以m=-2a=2b。
再將m分別帶回上面的兩式就會得到c值是a^2、1-b^2；這裡求到的兩個c值也是相等的，因為是在假設於一條y=mx+c的斜率方程式之上。

到這裡會得到兩個a、b之間的關係式；c=a^2=1-b^2、m=-2a=2b。
由m可以得知b=-a再帶回c可得到a=(+-)1/√2，帶回到m=-2a可得到m=(+-)√2
只要把得到的m、c帶回到y=mx+c就可以得到我們所要的兩條切線方程式
y=√2x+1/2、y=-√2+1/2 #

如果用google分別查y=-x^2以及y=x^2+1可以知道這兩個圖是互相以y=1/2對稱的。

相切 = tangent has equation y = mx + c
Suppose tangent meet curve y = - x^2 at point (a, -a^2), then since dy/dx = -2x;
sub into equation for tangent : -a^2 = (-2a).a + c, so c = a^2. Or, tangent equation y = -2ax + a^2

Repeat for 2nd curve, suppose tangent meet curve y = x^2 + 1 at point (b, b^2 + 1), then since dy/dx = 2x;
sub into equation for tangent : b^2 + 1 = (2b).b + c, so c = 1 - b^2. Or, tangent equation y = 2bx + (1 - b^2)

Solving the 2 equations:
y = -2ax + a^2
y = 2bx + (1 - b^2)

get 2 tangent lines, y = +/- mx + 1/2, where m = root 2

試求y=－x^2與y=x^2+1相切之直線
Sol
設y=ax+b為所求
(1) y=－x^2，y=ax+b
－x^2=ax+b
x^2+ax+b=0
D1=a^2－4b=0
(2) y=x^2+1，y=ax+b
x^2+1=ax+b
x^2－ax+1－b=0
D2=a^2－4(1－b)=0
－4b=－4(1－b)
b=1－b
b=1/2
a^2-2=0
a=+/-√2
So
y=√2x+1/2 or y=－√2x+1/2

這題是有兩條切線可以相切兩條方程，但是有無限個解，因為資料不足，加上兩條直線方程的解是其中一點是在(0,0)<(0,y)<(0,1)，所以是有無限個解。除非題目給了(0,0)<(0,y)<(0,1)的y在那及有兩個解，否則不無限個解。

lagrange method