Rolling dice 10 times only, how to find the confidence interval?

由於 n 小, 常用的常態近似法可能不適用, 宜採用小樣本方法, 也就是正確分布(二項分布)的方法.

採用二項分布找 p 的信櫹區間, 就是找 a, b 兩個值, 使
Σ_{k≦1} C(10,k)a^k(1-a)^{10-k} = 0.05/2 = 0.025, 及
Σ_{k≧1} C(10,k)b^k(1-b)^{10-k} = 0.05/2 = 0.025, 或即
Σ_{k < 1} C(10,k)b^k(1-b)^{10-k} = 1-0.05/2 = 0.975

也就是需要解
(1-a)^10 + 10a(1-a)^9 = 0.025 及
(1-b)^10 = 0.975
得 b = 0.00253, a = 0.35848

故所求信賴區間是 [0.0025,0.3585], 有至少 95% 信賴度.


有一種簡易常態近似區間, 是以 (x+2)/(n+4) 取代 x/n 代入
常態近似區間公式, 即
p~ = (1+2)/(10+4) = 0.21429,
√{(0.21429)(1-0.21429)/(10+4)} = 0.10966
下限: 0.21429 - 1.96*0.10966 < 0 故取 0;
上限 0.21429 + 1.96*0.10966 = 0.4292
故得近似之 95% 信賴區間為 [0, 0.4292].