(1)某校舉行了24次考試,共出426道試題, 每次出題有16道或20道或25道,問有幾次出25道? (2)1+1/2+1/3+1/4+.....+1/25的值介乎那兩個連續整數之間?

1)

若全出16題, 則餘 426 - 16×24 = 42題, 而 25 - 16 = 9 和 20 - 16 = 4 ,
該42題由多出的9題量和4題量所組成, 則只有 42 = 9×2 + 4×6 成立 , 故該校有 2 次考試出了25道題。

2)

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... + 1/25
> 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 20(1/25)
= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1
> 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1 = 3

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +....+ 1/25
= (24(1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/12) + 24(1/5+1/7) + 24(1/9+1/10+1/11) + 24(1/13+...+1/25)) / 24
=
(24+12+8+6+4+3+2 + 24(12/35) + 24(1/9+1/10+1/11) + 24(1/13+...+1/17 + 1/18+...+1/23 + 1/24 + 1/25)) /24
< (59 + 24(12/32) + 24(3/9) + 24(5/12 + 6/18 + 1/24 + 1/24)) / 24
= (59 + 9 + 8 + 10 + 8 + 1 + 1) / 24
= 96 / 24
= 4

綜上, 3 < 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +....+ 1/25 < 4。