為什麼 lim趨近無限大 (x+cosx)/x 不能用羅必達法則 只能用夾擠定理?
回答 (2)
2015-12-19 10:22 pm
✔ 最佳答案
應用羅畢達方法求 f(x)/g(x) 的極限, 除了是 0/0, ∞/∞ 不定式, 而且符合可微分條件以外, 還有一個不能忽視的條件, 那就是 f'(x)/g'(x)
的極限存在, 或極限是 +∞ 或 -∞.
而本例, f(x) = x+cos(x), g(x) = x, 考慮 x→∞.
此時 f'(x) = 1-sin(x), g'(x) = 1, f'(x)/g'(x) 的極限不存在, 也不是 ±∞,
因此不適用羅畢達方法.
2015-12-17 2:16 pm
因為 cos x 的微分是 cyclic and indeterminate, 所以不能用羅必達法則.
而需要用夾擠定理:
已知
-1<=cos(x)<=1
所以
(x-1)/x <= (x+cos x)/x <= (x+1)/x
但
Lim x 趨近無限大 (x-1)/x=Lim (1 - 1/x) =1
Lim x 趨近無限大 (x+1)/x=Lim (1 + 1/x) =1
所以
1<= lim趨近無限大 (x+cosx)/x <=1
用夾擠定理
lim趨近無限大 (x+cosx)/x =1
而需要用夾擠定理:
已知
-1<=cos(x)<=1
所以
(x-1)/x <= (x+cos x)/x <= (x+1)/x
但
Lim x 趨近無限大 (x-1)/x=Lim (1 - 1/x) =1
Lim x 趨近無限大 (x+1)/x=Lim (1 + 1/x) =1
所以
1<= lim趨近無限大 (x+cosx)/x <=1
用夾擠定理
lim趨近無限大 (x+cosx)/x =1
收錄日期: 2021-04-18 14:12:22
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