1/x從x=1積分到-1是多少，是0嗎? 因為由積分的最基本定義，積分即是將f(x)與x軸包圍的地方分割成無數小長條，再將這些長條面積加起來嘛？ 因為f(x)反對稱於y軸，所以他們的面積互相抵消，所以積分值是0 可是我看參考書上的答案是負無限大，為甚麼？
回答 (2)
2015-12-19 11:00 pm
以標準的黎曼積分而言, 由於 f(x) = 1/x 在 x=0 附近無界, 因此 f(x) 在
[-1,1] 或反向地從 1 積分至 -1 是不存在的.
如果考慮所謂 "瑕積分"(improper integral), 因為 f(x) = 1/x 在 [-1,0)
及在 (0,1] 的瑕積分都是發散的, 當然在 [-1,1] 的瑕積分也是不存在,
甚至是無定義的.
因此, f(x) = 1/x 從 1 積分至 -1, 既不是 0, 也不是 -∞, 而是無定義.
不過, 有一種定義是 "柯西主值" (Cauchy principal value):
PV ∫_[-1,1] = lim_{e→0+} ( ∫_[-1,-e] f(x) dx + ∫_[e,1] f(x) dx ) = 0.
[-1,1] 或反向地從 1 積分至 -1 是不存在的.
如果考慮所謂 "瑕積分"(improper integral), 因為 f(x) = 1/x 在 [-1,0)
及在 (0,1] 的瑕積分都是發散的, 當然在 [-1,1] 的瑕積分也是不存在,
甚至是無定義的.
因此, f(x) = 1/x 從 1 積分至 -1, 既不是 0, 也不是 -∞, 而是無定義.
不過, 有一種定義是 "柯西主值" (Cauchy principal value):
PV ∫_[-1,1] = lim_{e→0+} ( ∫_[-1,-e] f(x) dx + ∫_[e,1] f(x) dx ) = 0.
2015-12-08 1:21 pm
y = 1/x 在0時，無定義、不連續、不可微分
當0∈(a,b)時
y = 1/x從a積分到b
不可積分
一函數從a積分到b不可積分⇔存在一實數∈(a,b)使得該函數無定義(即該函數之定義域不包括該實數)
因為積分值是透過黎曼和來定義的
當0∈(a,b)時
y = 1/x從a積分到b
不可積分
一函數從a積分到b不可積分⇔存在一實數∈(a,b)使得該函數無定義(即該函數之定義域不包括該實數)
因為積分值是透過黎曼和來定義的
收錄日期: 2021-05-04 02:03:48
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https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20151206034108AA7YDb4