證明(x+y+z)/3大於或等於 3√xyz?

算幾不等式.

設 x_1, x_2,...,x_n 均為正數, 則
(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ (x_1 x_2 ... x_n)^{1/n}

n=2 時, (x+y)/2 - √(xy) = [(√x - √y)^2]/2 ≧ 0, 等式成立且僅成立於 x=y.

n=4 時,
(x+y+z+w)/4 = [(x+y)/2+(z+w)/2]/2 ≧ {[(x+y)/2][(z+w)/2]}^{1/2} ≧ {√(xy) √(zw)}^{1/2} = (xyzw)^{1/4}

令 w = (x+y+z)/3, 則 (x+y+z+w)/4 = (x+y+z)/3
因此 (x+y+z)/3 ≧ (xyzw)^{1/4},
即 [(x+y+z)/3]^4 ≧ xyzw = xyz(x+y+z)/3
故 [(x+y+z)/3]^3 ≧ xyz, 即 (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^{1/3}, 等式成立且僅成立於 x=y=z.


一般, (用數學歸納法) 得 n = 2^k 時
(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ (x_1 x_2 ... x_n)^{1/n}, 等式成立且僅成立於 x_1 = x_2 = ... = x_n

n≠2^k 時, 取 m = 2^k > n. 又令 i > n 時, x_i = (x_1+...+x_n)/n,
則 [(x_1+...+x_m)/m]^m ≧ x_1 x_2 ... x_m
但 [x_1+...+x_n + (m-n)(x_1+...+x_n)/n]/m = (x_1+...+x_n)/n
因此得 [(x_1+...+x_n)/n]^m ≧ (x_1...x_n)[(x_1+...+x_n)/n]^{m-n}
故 [(x_1+...+x_n)/n]^n ≧ x_1....x_n, 即 (x_1+...+x_n)/n ≧ (x_1...x_n)^{1/n}
等式成立且僅成立於 x_1 = x_2 = ... = x_n


另法, 用微積分中的 Lagrange 乘數法求 (x_1+...+x_n)/n = A 之下 x_1．...．x_n 之極大,
或在 (x_1．…．x_n)^{1/n} = G 限制下求 x_1+...+x_n 之極小, 均可得極值解發生於
x_1 = ... = x_n, 並從而確立了算幾不等式.



不過, 我還沒想到如何用 "反證法" 證明這個不等式.