指數問題????????

log(9^{1/9}) = (1/9)log(9) = (2/9)log(3) ≒ (2/9)(0.477121) = 0.954242/9 ≒ 0.106027
9^{1/9} = 10^{0.106027}

以上 log(3)=0.477121 完全是靠記憶. 不過, 如何算 10^0.106027, 也就是 0.106027
的 anti-log, 我暫時還沒什麼好辦法.


9^{1/9} = (8+1)^{1/9} ≒ 8^{1/9} +(1/9)(8^{1/9}/8) = 2^{1/3} + 2^{1/3}/72
2 的立方根可以直式手算(不過有點繁), 或用牛頓疊代法, 或用任何方法計算之.

此法的誤差大約 1/1000, 也就是說只要有 2 的立方根, 可以得到 9^{1/9) 只在
第3位小數有1 的誤差.

令 X = 9^(1/9)
X ⁹= 9

1.2⁹ = 5.15978
1.3⁹ = 10.6045
1.2 < X < 1.3

1.28⁹ = 9.22337
1.27⁹ = 8.59475
1.27 < X < 1.28

1.277⁹ = 9.03063
1.276⁹ = 8.96718
1.276 < X < 1.277

1.2766⁹ = 9.00520
1.2765⁹ = 8.99886
1.2765 < X < 1.2766

疊代法
X^n=A
Xi+1=(A/Xi^(n-1)+(n-1)*Xi)/n

設X^9=9，X0=1
X1=(9/1^8+8*1)/9=1.8889
X2=(9/1.8889^8+8*1.8889)/9=1.6852
X3=(9/1.6852^8+8*1.6852)/9=1.5133
X4=(9/1.5133^8+8*1.5133)/9=1.3815
X5=(9/1.3815^8+8*1.3815)/9=1.3034
X6=(9/1.3034^8+8*1.3034)/9=1.2786
X7=(9/1.2786^8+8*1.2786)/9=1.2765
X8=(9/1.2765^8+8*1.2765)/9=1.2765

9^(1/9)=1.2765