寫出2005的質因數連乘式,由此用兩種形式表2005為二平方數之和? 若2015能表為n個平方數之和,則n的最小值為何?

2005
= 5 × 401
= (2² + 1²)(20² + 1²)
= 2²×20² + 1²×1² + 1²×20² + 2²×1²
= (40² + 1²) + (20² + 2²)
= (40² + 1² + 2×40×1) + (20² + 2² - 2×20×2) 或 (40² + 1² - 2×40×1) + (20² + 2² + 2×20×2)
= (40 + 1)² + (20 - 2)² 或 (40 - 1)² + (20 + 2)²
= 41² + 18² 或 39² + 22²

2015 不為平方數, 故 n > 1.

若 n = 2, 則 x² + y² = 2015,
而 0² ≡ 0 (mod 4) , 1² ≡ 1 (mod 4) , 2² ≡ 0 (mod 4) , 3² ≡ 1 (mod 4), 故 N² ≡ 0 或 1 (mod 4) (N 是整數),
於是 x² + y² ≡ 0 , 1 或 2 (mod 4) , 與 2015 ≡ 3 (mod 4) 矛盾! 故 n >2.

若 n = 3 , 則 x² + y² + z² = 2015,
而 0² ≡ 0 (mod 8) , 1² ≡ 1 (mod 8) , 2² ≡ 4 (mod 8) , 3² ≡ 1 (mod 8) , 4² ≡ 0 (mod 8) , 5² ≡ 1 (mod 8) ,
6² ≡ 4 (mod 8) , 7² ≡ 1 (mod 8) , 故 N² ≡ 0 , 1 或 4 (mod 8) (N 是整數),
於是 x² + y² + z² ≡ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 或 6 (mod 8) , 與 2015 ≡ 7 (mod 8) 矛盾! 故 n > 3.

而 2015 = 2005 + 10 = 39² + 22² + 3² + 1² , 故 n 的最小值為 4.