Determine all ordered triples (x,y,z) of positive integers x, y, z such that 2^x + 3^y = z^2?

2ˣ + 3ʸ = z²
易知 z 為奇數, 且不被3整除. 故 z 為 3k±1 形 , 則 z² 為 3k+1 形.
即 2ˣ + 3ʸ 為 3k+1 形得 2ˣ 為 3k+1 形, 易知 x 必為偶數. 令 x = 2m , 則
4ᵐ + 3ʸ = z² , 又 z 為奇數, 故 z² 為 4k+1 形, 從而 3ʸ 為 4k+1 形, 則 y 必為偶數, 令 y = 2n, 有
4ᵐ + 9ⁿ = z²
2²ᵐ = (z - 3ⁿ)(z + 3ⁿ) , 令 z - 3ⁿ = 2ᵃ , z + 3ⁿ = 2ᵇ (顯然b > a), 則 2z = 2ᵃ + 2ᵇ = 2ᵃ (1 + 2ᵇ⁻ᵃ),
而 z 與 1 + 2ᵇ⁻ᵃ 皆為奇數, 故 a = 1. 又由 a + b = 2m = x 得 b = x - 1 , 代入 2z = 2ᵃ(1 + 2ᵇ⁻ᵃ) 得
z = 1 + 2ˣ⁻² , 而 z - 3ⁿ = 2 及 z + 3ⁿ = 2ˣ⁻¹ .
考慮 (z + 3ⁿ) - (z - 3ⁿ) = 2ˣ⁻¹ - 2
2(3ⁿ) = 2(2ˣ⁻² - 1)
3ⁿ = 2ˣ⁻² - 1
3ⁿ = 4ᵐ⁻¹ - 1
則 3ⁿ 為 4k-1 形, 從而 n 必為奇數, 得 4ᵐ⁻¹ = 3ⁿ + 1 = (3 + 1)(3ⁿ⁻¹ - 3ⁿ⁻² + ... + 1),
注意 3ⁿ⁻¹ - 3ⁿ⁻² + ... + 1 有 n(奇數) 項, 且每項皆是奇數, 從而 3ⁿ⁻¹ - 3ⁿ⁻² + ... + 1 必為奇數,
於是 4ᵐ⁻² = 3ⁿ⁻¹ - 3ⁿ⁻² + ... + 1 是奇數, 只能是 m = 2 ⇒ x = 4 , 代入 4ᵐ⁻¹ = 3ⁿ + 1 得 n = 1 ⇒ y = 2 ,
得原方程為 2⁴+ 3² = z² , 即 z = 5.
所以 2ˣ + 3ʸ = z² 只有一組正整數解: (x,y,z) = (4,2,5).