寫出2005的質因數連乘式,由此用兩種形式表2005為二平方數之和?

2005 是奇數，所以這兩個平方數一個是奇數，一個是偶數。
令此兩數為 (2p)²、(2q+1)²，則
(2p)² + (2q+1)² = 2005
==> 4p² + 4q² + 4q + 1 = 2005
==> p² + q² + q = 501
==> p² + q(q+1) = 501
因為 q(q+1) 是偶數，所以 p 是奇數。
兩個連續數的積小於 501，所以 q 最大是 21。
而奇數平方的個位與十位只能是：
01, 21, 41, 61, 81, 09, 29, 49, 69, 89 及 25。
所以 q(q+1) 的個位與十位只能是：
00, 80, 60, 40, 20, 92, 72, 52, 32, 12, 及 76。
所以 q(q+1) 只能是：
3x4, 4x5, 8x9, 11x12, 15x16, 16x17, 19x20, 20x21
即 q 只可能是 3, 4, 8, 11, 15, 16, 19, 20
相應的 p² 是 489, 481, 429, 369, 261, 229, 121, 81
明顯地，只有 121 及 81 是平方數，所以 (p, q) 只能是 (11, 19) 及 (9, 20)
所以 (2p, 2q+1) 是 (22, 39) 及 (18, 41)。
即 22² + 39² = 2005 及 18² + 41² = 2005。

2005=5*401=22^2+39^2=39^2+22^2=18^2+41^2=41^2+18^2

因3^2+4^2=5^2 ==>9+16=25 ==>9*80+16*80=25*80
25^2+37^2=1994
24^2+38^2=2020
26^2+36^2=1972
2005-39^2=22^2
2005-41^2=18^2
只能先求靠近的數再逼近,且一個一個試.(取根號2005=44.--, 取44以下)