請教一題統計機率問題(擲銅板)?

勝的機率 = 投出剛好兩個正面的機率 = (3C1)(1/2)³ = 3/8
負的機率 = 1 - 3/8 = 5/8

P(老三獲勝)
= P(老大、老二先負1次:(5/8)² 然後老三獲勝:3/8)
+ P(三人先負1次:(5/8)³ 然後老大、老二負第2次:(5/8)² 接著老三獲勝:3/8)
+ P(三人先負2次:(5/8)^6 然後老大、老二負第3次:(5/8)² 接著老三獲勝:3/8) + ...
+ P(三人先負n次:(5/8)³ⁿ 然後老大、老二負第n+1次:(5/8)² 接著老三獲勝:3/8) + ...

= (5/8)² (3/8) + (5/8)^5 (3/8) + (5/8)^8 (3/8) + ... + (5/8)³ⁿ⁺² (3/8) + ...

上式為首項是a = (5/8)² (3/8) , 公比是r = (5/8)³ 的無窮等比數列之和, 代入求和公式 a / (1 - r) 即可。

別解:
P(老三獲勝) = P(老大、老二先負1次然後老三獲勝) + P(三人先負1次回到原始狀態) * P(老三獲勝)
P(老三獲勝) = (5/8)² (3/8) + (5/8)³ P(老三獲勝)
P(老三獲勝) (1 - (5/8)³) = (5/8)² (3/8)
P(老三獲勝) = (5/8)² (3/8) / (1 - (5/8)³) 和所供解答結果完全一致。