ABCD為正方形，P為正方形內部一點，P到A、B、C的距離分別為1、2、3， 求 正方形面積？(答案5+2√2)?

設正方形邊長為 a。

根據餘弦定律：
cos∠ABP = (AP² + BP² - AP²) / (2 × AB × BP)
cos∠ABP = (a² + 2² - 1²) / (2 × a × 2)
cos∠ABP = (a² + 3) / 4a

同理：
cos∠PBC = (BP² + BC² - PC²) / (2 × BP × BC)
cos(90° - ∠ABP) = (2² + a² - 3²) / (2 × 2 × a)
sin∠ABP = (a² - 5) / 4a

sin²∠ABP + cos²∠ABP = 1
[(a² + 3) / 4a]² + [(a² - 5) / 4a]² = 1
(a² + 3)² + (a² - 5)² = (4a)²
(a²)² + 6a² + 9 + (a²)² - 10a² + 25 = 16a²
2(a²)² - 20a² + 34 = 0
(a²)² - 10a² + 17 = 0
a² = [10 ± √(10² - 4×17)]/2
a² = 5 + 2√2 或 a² = 5 - 2√2 (不合，因 sin∠ABP 不可小於0)

正方形面積 = a² = 5 + 2√2