請問~~~設degf(x)>=4，若f(x)以(x-2)^2與(x+3)^2除之餘式分別為31x-51，-4x-6，求f(x)以(x-2)^2(x+3)^2除之，餘式為?

Sol
設f(x)=q(x)(x－2)^2(x+3)^2+a(x－2)(x+3)^2+b(x+3)^2－4x－6
f(2)=b*25－8－6=31*2－51
25b=25
b=1
f(x)=q(x)(x－2)^2(x+3)^2+a(x－2)(x+3)^2+(x+3)^2－4x－6
=q(x)(x－2)^2(x+3)^2+a(x－2)(x－2+5)^2+(x－2+5)^2－4x－6
=q(x)(x－2)^2(x+3)^2+a(x－2)[(x－2)^2+10(x－2)+25]+(x－2)^2+10(x－2)－4x－6
=q(x)(x－2)^2(x+3)^2+a(x－2)^3+10(x－2)^2+25a(x－2)+(x－2)^2+10(x－2)+25
－4x－6
So
25a(x－2)+10(x－2)+25－4x－6=31x－51
25a+10－4=31
a=1
餘式=(x－2)(x+3)^2+(x+3)^2－4x－6
=(x^3+4x^2－3x－18)+(x^2+6x+9)－4x－6
=x^3+5x^2－x－15