有一個三角形，周長為定值，那麼三個角的角度為多少時，此三角形的面積有最大值和最小值?可以的話請證明，謝謝!?

令三角形3邊長為a, b, c, 則三角形的面積 = √(s (s-a) (s-b) (s-c)) , 其中周長 = 2s = a + b + c.
由算幾不等式得 (s-a + s-b + s-c)/3 ≥ ∛((s-a) (s-b) (s-c))
s/3 ≥ ∛((s-a) (s-b) (s-c))
s³/27 ≥ (s-a) (s-b) (s-c)
s⁴/27 ≥ s (s-a) (s-b) (s-c)
s²/(3√3) ≥ √(s (s-a) (s-b) (s-c)) , 當且僅當 s-a = s-b = s-c 即 a = b = c 時取等號.
故周長 2s 的三角形面積有最大值 s²/(3√3) , 當且僅當三邊長相等時取得,
即三個角的角度為 60° 時三角形的面積有最大值。

周長為定值的三角形面積沒有最小值,用反證法:
假設周長為 2s 的三角形當三邊為 a ≥ b ≥ c 時有最小面積 √(s (s-a) (s-b) (s-c)) ,
現考慮三邊為 a , b+k , c-k 的三角形(k > 0), 其周長仍為定值 2s ,
其面積 = √(s (s-a) (s-b - k) (s-c + k))
= √( s (s-a) ((s-b)(s-c) + k(c-b) - k²) )
= √( s (s-a) ((s-b)(s-c) + k(c-b-k)) )
因 k > 0 及 (c-b-k) < 0 得 √( s (s-a) ((s-b)(s-c) + k(c-b-k)) ) < √(s (s-a) (s-b) (s-c)) 矛盾!
故周長為定值的三角形面積沒有最小值。