before/after後加present participle?

They wanted to eat some fruit for a snack after they went home.
這句話是不符邏輯的，應該是They wanted to eat some fruit for a snack after they arrived at home.因為went home只有出發，看不出到了是否到家裡。將副詞子句改成介系詞片語也可：They wanted to eat some fruit for a snack after arriving at home.這時arriving是「動名詞」(gerund)，不是「現在分詞」(present participle)。當然你也可以用「完成式的動名詞」來寫：...after having arrived at home.但因為after已經明顯分出先後，就不必用完成式，用簡單式動名詞即可。
本句因為時差關係，只適合用after，用before就不合理了。如果是：Before diving, one should look for hidden rocks.用before就沒問題（因為時序合理）。
你寫的：They had wanted ...是錯誤的。因為「過去完成式」是用來和另一個「過去簡單式」形成時差用的，不會單獨使用。I had just finished my work when he came in.（完成式had finished在簡單式came in之前）。

發問時的問題分類 如何指定分類？

改成after going home沒問題
這裡改成going的用法是"分詞構句" 只是把動詞改成分詞而已 實際上意義還是過去式 並沒有現在的意義...
理論上兩個動作已經不算是同步了 before/after都明指出事件的先後關係了

They wanted to eat.... after having gone home. => 這也是可以的 用過去完成式會更加強調事件先後順序

They had wanted to eat... before going home. => 這也是可以的 不過意義上變成他們在回家之前已經想吃