大根號七加根號四十五再加上大根號七減根號四十五?

假設 √(7＋√45)＝√a＋√b，且 a＞b，則
7＋√45＝a＋b＋2√ab＝(a＋b)＋√4ab
所以
a＋b＝7
==> a＝7－b ⋯⋯ (1)
4ab＝45 ⋯⋯⋯⋯ (2)
(1) 代入 (2) 得
4(7－b)b＝45
==> 4b²－28b＋45＝0
==> (2b－5)(2b－9)＝0
==> b＝5/2 或 9/2
代 b＝5/2 入 (1) 得
a＋5/2＝7
==> a＝9/2
代 b＝9/2 入 (1) 得
a＋9/2＝7
==> a＝5/2 (此時 a＜b，不合)
所以 √(7＋√45)＝√9/2＋√5/2
同樣地，√(7－√45)＝√9/2－√5/2
所以
√(7＋√45)＋√(7－√45)
＝√9/2＋√5/2＋√9/2－√5/2
＝2√9/2
＝3√2

要簡單一點的可以這樣：
假設 N＝√(7 + √45) + √(7 - √45)
則 N平方
= 7 + √45 + 2√[(7 + √45)(7 - √45)] + 7 - √45
= 14 + 2√(49 - 45)
= 14＋4
= 18
所以 N = √18 = 3√2

如圖