已知√3為無理數，試證: √3+2開三次方根為無理數。 謝謝~?
回答 (2)
2015-09-17 11:16 pm
✔ 最佳答案
設√3 + ³√2 = r, r為有理數(³√2)³ = (r - √3)³
2 = r³ - 3√3r² + 9r - 3√3
3√3( r² + 1 ) = (r³ + 9r - 2)
√3 = (r³ + 9r - 2)/[3( r² + 1 )]
r³ + 9r - 2是有理數, 3( r² + 1 ) 也是有理數,
相除的(r³ + 9r - 2)/[3( r² + 1 )]也是有理數,
但題目說√3是無理數, 與假設不合,
所以√3 + ³√2是無理數
2015-09-17 12:06 pm
Sol
設(√3+2)^(1/3)為有理數
存在正整數p，q，(p，q)=1
使得(√3+2)^(1/3)=q/p
√3+2=q^3/p^
√3=q^3/p^3－2=(q^3－2p^3)/p^3
q^3－2p^3為整數，p^3為整數
√3為整數
與假設不合
So
(√3+2)^(1/3)為無理數
設(√3+2)^(1/3)為有理數
存在正整數p，q，(p，q)=1
使得(√3+2)^(1/3)=q/p
√3+2=q^3/p^
√3=q^3/p^3－2=(q^3－2p^3)/p^3
q^3－2p^3為整數，p^3為整數
√3為整數
與假設不合
So
(√3+2)^(1/3)為無理數
收錄日期: 2021-04-30 20:15:16
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20150917035320AAjnjEh