設 x, y 為實數, X^2 +4xy+ 5y^2 - 2x + 2y + 10 = 0 求 x, y 值?

x²＋4xy＋5y²－2x＋2y＋10＝0
==> x²＋4xy＋4y²＋y²－2x＋6y－4y＋1＋9＝0
==> (x²＋4xy＋4y²－2x－4y＋1)＋(y²＋6y＋9)＝0
==> (x＋2y－1)²＋(y＋3)²＝0
所以
x＋2y－1＝0 ⋯⋯ ①
y＋3＝0 ⋯⋯⋯⋯ ②
由 ② 得 y＝-3
代入 ① 得 x＝7
所以 x＝7，y＝-3

Sol
∂(x^2+4xy+5y^2－2x+2y+10)/∂x=0
2x+4y－2=0
∂(x^2+4xy+5y^2－2x+2y+10)/∂x=0
4x+10y+2=0
(4x+10y+2)－2(2x+4y－2)=0
2y+6=0
y=－3
x=7
49+4*(－21)+5*9－14－6+10=0
or
(x+2y－1)^2=x^2+4y^2+1+4xy－2x－4y
x^2+4xy+5y^2－2x+2y+10=0
(x+2y－1)^2+(x^2+4xy+5y^2－2x+2y+10－x^2－4y^2－4xy－1+2x+4y)=0
(x+2y－1)^2+(y^2+6y+9)=0
(x－2y－1)^2+(y+3)^2=0
y=－3，x=7