請問:設三角形ABC之三邊長為a,b,c， 且周長為6，若(a^4+b^4)/c^4+1/2=(a^2+b^2)/c^2， 則此三角形三邊長為多少?

(a⁴＋b⁴)/c⁴＋1/2＝(a²＋b²)/c²
2(a⁴＋b⁴) + c⁴= 2c² (a²＋b²)
c⁴- 2(a²＋b²)c² + 2(a⁴＋b⁴) = 0 , 視之為 c² 的二次方程。
因c²為實數, △= 4(a²＋b²)² - 8(a⁴＋b⁴) ≥ 0
a⁴＋b⁴+ 2a²b² - 2a⁴- 2b⁴≥ 0
- (a² - b²)² ≥ 0
a² - b² = 0
(a - b)(a + b) = 0
因 a , b > 0 故 a = b
得c⁴- 4a²c² + 4a⁴= 0
(c² - 2a²)² = 0
c² = 2a²
又 2a + c = 6
得(6 - 2a)² = 2a²
(a+b+c - 2a)² = 2a²
(b + c - a)² = 2a²
因 b + c - a > 0
故 b + c - a = √2 a
6 - 2a = √2 a
a = 6 / (2+√2) = 6－3√2 = b , c = 6 - 2(6 - 3√2) = 6√2－6
此三角形三邊長為 a = 6－3√2 , b = 6－3√2 , c = 6√2－6.

a + b＋c＝6 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (1)
(a⁴＋b⁴)/c⁴＋1/2＝(a²＋b²)/c² ⋯⋯⋯ (2)
假設此三角形是一直角三角形，且 c 為斜邊長度，則
c²＝a²＋b²
==> c⁴＝(a²＋b²)²＝a⁴＋2a²b²＋b⁴
代入 (2) 得
(a⁴＋b⁴)/(a⁴＋2a²b²＋b⁴)＋1/2＝(a²＋b²)/(a²＋b²)
==> (a⁴＋b⁴)/(a⁴＋2a²b²＋b⁴)＝1/2
==> 2a⁴＋2b⁴＝a⁴＋2a²b²＋b⁴
==> a⁴－2a²b²＋b⁴＝0
==> (a²－b²)²＝0
==> a²＝b²
==> a＝b 或 a＝-b (不合)
所以 c＝√(b²＋b²)＝b√2
代入 (1) 得
b＋b＋b√2＝6
==> b＝6/(2＋√2)＝3(2－√2)＝6－3√2
所以此題的其中一個解是：
a＝6－3√2，b＝6－3√2，c＝6√2－6

或者可以這樣：
假設 x＝1/c²，則
(a⁴＋b⁴)/c⁴＋1/2＝(a²＋b²)/c²
==> (a⁴＋b⁴)x²＋1/2＝(a²＋b²)x
==> (a⁴＋b⁴)x²－(a²＋b²)x＋1/2＝0
==> x＝ {(a²＋b²) ± √[(a²＋b²)²－4(a⁴＋b⁴)(1/2)]} / [2(a⁴＋b⁴)]
==> x＝ [(a²＋b²) ± √(a⁴＋2a²b²＋b⁴－2a⁴－2b⁴)] / [2(a⁴＋b⁴)]
==> x＝ [(a²＋b²) ± √-(a⁴－2a²b²＋b⁴)] / [2(a⁴＋b⁴)]
因為 x 有實根，所以只可能 a＝b 或 a＝-b (不合)，即
x＝(a²＋b²) / [2(a⁴＋b⁴)]
==> 1/c²＝(2a²)/(4a⁴)
==> c²＝2a²
==> c＝a√2 或 -a√2 (????合)
所以此三角形的三邊長度是 a, a, a√2
即 6－3√2, 6－3√2, 6√2－6