數學問題 一正方型邊長為8 求三角形面積(付圖) 已知一腳渡為45度 底邊長為6 http://i.imgur.com/Yj38aBM.jpg?

此題無解,說明如下:

相關位置請參考底下附圖,或是以下網址:
http://imgur.com/NIZWalO

方法一 用三角函數來解:
AD = 8*tanθ , 所以 AC = 8 - 8*tanθ
BE = 8*tan(45°-θ) , 所以 BC = 8 - 8*tan(45°-θ)

AC^2 + BC^2 = AB^2
[ 8 - 8*tanθ ]^2 + [ 8 - 8*tan(45°-θ) ]^2 = 36
[ 1 - tanθ ]^2 + [ 1 - tan(45°-θ) ]^2 = 36/64
1 - 2 tanθ + tan^2 θ + 1 - 2 tan(45°-θ) + tan^2 (45°-θ) = 9/16
2 - 2 tanθ - 2 tan(45°-θ) + tan^2 θ + tan^2 (45°-θ) = 9/16 ... (1)

令 x = tanθ
tan(45°-θ) = ( tan45° - tanθ ) / ( 1 + tan45° tanθ ) = (1-x)/(1+x)
故(1)式得 :

2 - 2x - 2(1-x)/(1+x) + x^2 + (1-x)^2/(1+x)^2 = 9/16
等式左右皆乘以 (1+x)^2 得 :
2(1+x)^2 - 2x(1+x)^2 - 2(1-x)(1+x) + x^2(1+x)^2 + (1-x)^2 = 9(1+x)^2 / 16
2(1+2x+x^2) - 2x(1+2x+x^2) - 2(1-x^2) + x^2(1+2x+x^2) + (1-2x+x^2) = 9(1+x)^2 / 16
2+4x+2x^2 -2x-4x^2-2x^3 -2+2x^2 +x^2+2x^3+x^4 +1-2x+x^2 = 9(1+x)^2 / 16
x^4 + 2x^2 + 1 = 9(1+x)^2 / 16
16(x^2+1)^2 = 9(1+x)^2
4(x^2+1) = ± 3(1+x)

當 4(x^2+1) = 3(1+x)
4x^2 - 3x + 1 = 0
判別式 D = (-3)^2 - 4*4*1 = - 7 < 0
故 x 無實數解
又 x = tanθ , 即 θ = arctan x
所以 θ 亦無實數解

當 4(x^2+1) = - 3(1+x)
4x^2 + 3x + 7 = 0
判別式 D = 3^2 - 4*4*7 = - 103 < 0
故 x 無實數解, 所以 θ 亦無實數解

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方法二 用數值分析的方法來解:
令 d = AB
由方法一中的計算式可得:
d
= AB
= √ ( AC^2 + BC^2 )
= √ { [ 8 - 8*tanθ ]^2 + [ 8 - 8*tan(45°-θ) ]^2 }
≡ d ( θ )

利用此式,用電腦軟體計算可得: (精確至小數三位)
d ( 0° ) = 8
d ( 0.5° ) = 7.931
d ( 1° ) = 7.865
....................
d ( 22° ) = 6.628
d ( 22.5° ) = 6.627
d ( 23° ) = 6.628
....................
d ( 44.5° ) = 7.931
d ( 45° ) = 8

觀察此函數 0° ~ 22.5° 為遞減; 22.5° ~ 45° 為遞增,
在 22.5° 有最小值, 在兩端有最大值.
最小值 = d ( 22.5° ) = 6.627 > 6
故 AB 不可能是 6