三角形ABC面積為81,三角形ABC中各邊取1/3等分點分別為A1,B1,C1使得2AA1=A1B,2BB1=B1C,2CC1=C1A,如此下去,三角形A1B1C1,三角形A2B2C2,三角形A3B3C3.,設其面積分別為a1,a2,a3,.,則a1+a2+a3+...+a6=?

首先你要知道等高三角形的底邊比等於面積比

考慮等高三角形△ABB1和△AB1C(以BC作為底)的面積比=BB1:B1C=1:2
所以△ABB1的面積是整個△ABC的1/(1+2)=1/3

考慮等高三角形△B1AA1和△B1A1B(以AB作為底)的面積比=AA1:A1B=1:2
所以△B1A1B的面積是△ABB1的2/(1+2)=2/3

也就是△B1A1B的面積是△ABC的(1/3)*(2/3)=2/9

同理, △B1A1B的面積=△A1C1A的面積=△C1B1C的面積=△ABC的面積/9
△ABC的面積減去△B1A1B的面積、△A1C1A的面積、△C1B1C的面積
就是△A1B1C1的面積, 即1-6/9=1/3,
所以△A1B1C1的面積=(1/3)△ABC的面積,

同理, △AnBnCn的面積=(1/3)△A(n-1)B(n-1)C(n-1)的面積,

即你在求的加法其實是個等比數列, 比例是1/3, 首項是81, 這樣你會算了嗎?

整理好發在我的blog了, 附上截圖

作AH⊥BC, h = AH, a = BC:

ΔCC1B1 = 0.5*(2a/3)*(h/3)

= (2/9)*(0.5*a*h)

= (2/9)*ΔABC


同樣: ΔAA1C = ΔBB1A1 = (2/9)*ΔABC

=> ΔA1B1C1 = ΔABC*(1 - 2*3/9)

= ΔABC*(1 - 2/3)

= ΔABC/3

=> 公比: r = 1/3

=> Σ(j=1~6)aj

= ΔABC*(1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ... + 1/3^6)

= (81/3)*(1 + 1/3 + 1/3^2 + ... + 1/3^5)

= 27*{1*[1-(1/3)^6]/(1-1/3)}

= 27*{(1 - 1/729)/(2/3)}

= 81*728/(729*2)

= 364/9

= Answer