設兩方程式x^2-ax+b=0 和 x^2-bx+a=0 的所有根均為整數,
求數對(a,b)之所有可能值為？
不知道有沒有比較好的方法，目前僅能用直覺是找出一些解
一元二次方程式的所有解問題?
2015-08-25 2:00 pm
回答 (2)
2015-08-25 3:07 pm
設 x² - ax + b = 0 之兩根為 x₁, x₂; x² - bx + a = 0 之兩根為 x₃, x ₄.
則 x₁+ x₂= a , x₁x₂= b , x₃+ x ₄= b , x₃x ₄= a.
所以 a + b = x₁+ x₂+ x₃+ x ₄= x₁x₂+ x₃x ₄
x₁x₂- x₁- x₂ + x₃x ₄- x₃- x ₄= 0
(x₁x₂- x₁- x₂+ 1) + (x₃x ₄- x₃- x ₄+ 1) = 2
(x₁- 1)(x₂- 1) + (x₃- 1)(x₄- 1) = 2
則 x₁+ x₂= a , x₁x₂= b , x₃+ x ₄= b , x₃x ₄= a.
所以 a + b = x₁+ x₂+ x₃+ x ₄= x₁x₂+ x₃x ₄
x₁x₂- x₁- x₂ + x₃x ₄- x₃- x ₄= 0
(x₁x₂- x₁- x₂+ 1) + (x₃x ₄- x₃- x ₄+ 1) = 2
(x₁- 1)(x₂- 1) + (x₃- 1)(x₄- 1) = 2
2015-08-25 2:57 pm
b^2-4a & a^2-4b ≥ 0且為完全平方數
所以a=b=4
自己有感覺中間有漏....不過答案應該是這樣
所以a=b=4
自己有感覺中間有漏....不過答案應該是這樣
收錄日期: 2021-04-21 22:31:10
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https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20150825060007AA2KGyS