三角形重心的證明題?

連 BG，延長 BG 使其與 AC 雙交於 H。
因 G 為三角形 ABC 的重心，所以 BG：GH＝2：1
設 AH：HC：CF＝1：1：x

在三角形 ABF 中，連 AG，BF。若 AGH 的面積為 1，
則 AGB 的面積是 2，FGH 的面積是 (1＋x)，BGF 的面積是 (2＋2x)，
所以 AGD 的面積是 2(1＋1＋x)/(1＋1＋x＋2＋2x)，即 2(2＋x)/(4＋3x)。
所以 GD：GF＝2(2＋x)/(4＋3x)：(1＋1＋x)＝2：(4＋3x)

在三角形 HBF 中，連 EH。若 HEG 的面積為 1，
則 BEG 的面積是 2，BEF 的面積是 3x，FEH 的面積是 3x/2。
所以 GF：GE＝(1＋3x/2)：1＝(2＋3x)：2

所以 GD：GF：GE＝2(2＋3x)：(2＋3x)(4＋3x)：2(4＋3x)
即若 GD＝2k(2＋3x)，則GF＝k(2＋3x)(4＋3x)，GE＝2k(4＋3x)。
所以
1/GE＋1/GF
＝1/[k(2＋3x)(4＋3x)]＋1/[2k(4＋3x)]
＝(2＋2＋3x)/[2k(2＋3x)(4＋3x)]
＝1/[2k(2＋3x)
＝1/GD