三角函數的問題

無最佳解答

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問題一：
請問點解 sin 90° = 1 ?

解答：
要看你如何定義三角函數。
一般來說，初中生對於三角函數的定義都是由一個直角三角形想起。
考慮其中一隻角（非直角三角形中的直角）為 θ。
那麼 sin θ = (對邊) / (斜邊)

想想極端的情況，當 θ 很小很小，接近 0° 時，那麼 鄰邊 的長度幾乎和 斜邊 一樣，而 對邊 的長度很接近 0。
你可以想像到 sin 0° = (對邊) / (斜邊) = 0。

當 θ 愈來愈大，對邊 會愈來愈長，你也可見 sin θ 的值愈來愈大。

一直至到另一個極端情況，當 θ 很接近 90° 的時候，你發覺 對邊 的長度幾乎和 斜邊 一樣，而 鄰邊 的長度很接近 0。
那麼 sin 90° = (對邊) / (斜邊) = 1

以上的解釋會令你容易明白，但如果你追求數學上一個更嚴謹的原因，你就不要用直角三角形的想法。

一個嚴謹的定義是，考慮在直角坐標系的一個半徑為 1，圓心為原點 (0, 0) 的圓，即 x² + y² = 1。

考慮一個在圓上的點 (x, y)，把這點連到圓心（即原點），定義由正x-軸逆時針畫起到剛才所畫的線段的角為 θ。

那麼，
sin θ = y
cos θ = x
tan θ = y/x

因此，當 θ = 90°，所考慮的點是 (0, 1)，故 sin 90° = y = 1。

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問題二：
仲有點解 tan 90° is undefined ?

解答：
因為 cos 90° = 0，
因此 tan 90° = sin 90° / cos 90° = 1 / 0 是一個以 0 為字母的分數。
是未定義的數式，即是 undefined。



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sin 90° is given as one.
You can think of a unit circle, where x=0 on the positive y-axis, which is 90°, and the radius is one, so sin 90°.
Now tan = sin/cos, so tan 90° = sin 90°/ cos 90°
as we mentioned above, sin 90°=1, but x is 0, so cos 90°=0
so tan 90° = 1/0, which is undefined