剛升高一銜接數學題:指數

1.
設放射性元素的量為 A(t)，其中 t 是由起始時間計起的年期。
設衰變因子為 r。也設半衰期為T。

那麼
A(t) = A(0) × r^t　　　　 t 是任何時間
A(T) = A(0) × (1/2)　　　T 是特別時間

即
A(T) = A(0) × r^T = A(0) × (1/2)

根據提供的資料：
A(360) = A(0) × (1/8)
A(360) = A(0) × r³⁶⁰

即是
r³⁶⁰ = 1/8 = (1/2)³
r¹²⁰ = 1/2

A(0) × (1/2) = A(0) × r¹²⁰ = A(120)
T = 120

半衰期是 120 年。

註：
經歷１次半衰期後，物料會剩餘原本的 1/2
經歷２次半衰期後，物料會剩餘原本的 (1/2) × (1/2) = 1/4
經歷３次半衰期後，物料會剩餘原本的 (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/8
經歷４次半衰期後，物料會剩餘原本的 (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/16
．．．

2.
同理，今次
A(40) = A(0) × (1/16) = A(0) × r⁴⁰
r⁴⁰ = 1/16 = (1/2)⁴
r¹⁰ = 1/2
T = 10

半衰期是 10 年。


2015-07-26 22:54:50 補充：
或者這樣說吧，先給你一個例子。

原本有一堆物料，當是 A 那麼多。
每過一日就會減半。

那麼剩下的物料份量就如下：
起始時　A
１日後　A/2
２日後　A/4
３日後　A/8
４日後　A/16

於這個例子，半衰期就是一日。

2015-07-26 22:58:47 補充：
但情況未必每一次都是那麼簡單，以上例子的「一日」可以變成不同的時期。

例如：
１日　－＞　２星期
２日　－＞　４星期
３日　－＞　６星期
４日　－＞　８星期

2015-07-26 23:03:03 補充：
總之，
如果份量餘下 1/2 需時 n，那半衰期就是 n。
如果份量餘下 1/4 需時 n，那半衰期就是 n/2。
如果份量餘下 1/8 需時 n，那半衰期就是 n/3。
如果份量餘下 1/16 需時 n，那半衰期就是 n/4。

你發問的題目都很簡單，所以可以先看熟這個規律。

當你徹底明白時，可以做更深的題目，例如題目說 n 日後剩 1/6，問你半衰期。
這些則要用對數 log 計算。

2015-07-27 00:55:42 補充：
對呀，進哥～
謝謝你的補充！

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2015-07-27 00:56:45 補充：
很感謝 進哥 提供較簡捷的解法：

1. 1/8 = (1/2)^3 所以 360年是三個半衰期,
360/3 = 120

2. 1/16 = (1/2)^4 所以 40年是四個半衰期,
40/4 = 10

2015-07-27 00:57:30 補充：
已經加入並嗚謝 進哥～

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知足大,不好意思,我來補充一下,
因為版主問的這兩題數字比較簡單,所以可以用比較簡捷的講法,
知足大您講得太詳細,他反而會看不懂,

1. 1/8 = (1/2)^3 所以 360年是三個半衰期,
360/3 = 120

2. 1/16 = (1/2)^4 所以 40年是四個半衰期,
40/4 = 10