[數學]微積分 導數的問題

不保證正確
1.
假設一連續曲線上有一點A
切線：
點A的兩端動點有P、P'
若直線AP、直線AP'的極限位置相同
則稱 直線AP(或AP')為曲線在A處的切線
斜率：
若上述曲線在XY平面上，則A處的切線的斜率
稱為曲線在A處的斜率
2.
一元函數的導數定義：
假設有一函數f：D→C
則X=X0處的導數如下：
f '(X0)≡lim(h→0):{[f(X0+h)-f(X0)]/h}
這個"2"代表函數f在X=1處的切線斜率
可看出局部的性質：
dy/dx = 2，原本dy、dx單獨而言是沒有定義的
(參看微分量、邊際分析：
Δ代表"變化量"
Δf(x)≡f(x+Δx)-f(x)
dx≡Δx
df(x)≡Δx* f '(x)
得到
當Δx逼近0時，Δf(x)逼近df(x) )

謝謝 算是明白了

1.
曲線上一點的斜率, 是該曲線在該點之 "切線" (若存在) 的斜率.

但 "切線" 如何定義, 卻成為一個問題. 高中數學圓錐曲線的切線
可資做為參考, 而要推而廣之到任意曲線, "割線逼近法" 是一個
較可行的方式.


所謂割線遛近, 假設考慮曲線 C 上一點 P 的斜率, 那麼就取接
近 P, 同樣在曲線 C 上之點 Q, 得到割線 PQ. 讓 Q 點向 P 點
靠近, 理想狀態不管 Q 點怎樣取法, 只要 Q 點向 P 點接近, 這
割線 PQ 就無限逼近一通過 P 點的固定直線 L.

2015-07-27 10:45:52 補充：
以函數曲線 y = f(x) 來說, P = (x0,y0) = (x0,f(x0)),
取點 Q = (x0+h, f(x0+h)), 則割線 PQ 是過 P 點, 斜率為
m_Q = (f(x0+h)-f(x0))/h 的直線.

如果 h 無限逼近 0 時, m_Q 能無限逼近一個定值 m,
那也就是說 PQ 線會遛近以 m 為斜率, 過 P 點的直線 L.
這樣的 L 也就稱為 y = f(x) 在 x=x0 處的切線, 而其斜率
m = lim_{h→0} (f(x0+h)-f(x0))/h 也就是 y = f(x) 曲線在
x = x0 處的斜率.

2015-07-27 10:46:41 補充：
以上說明大概任一本介紹微積分的書 (教本, 參考書, 或
科普書) 都會有類似的. 請參考.

2015-07-27 10:56:00 補充：
2.


f;(1) = 2 就是說在 x = 1 時 y = f(x) = x^2 曲線的切線使率是 2, 也可以說
函數 y = f(x) = x^2 在 x=1 的瞬間變化率是 2.

要了降瞬間變化率, 先了解 "平均變化率".

從x = x0 到 x0+h, 函數 y = f(x) 的平均變化率是 r_h = (f(x0+h)-f(x0))/h.
當 h 無限逼近 0, 若 r_h 能無限逼近定值 r, 也就是說
r = lim_h (f(x0+h)-f(x0))/h 存在 (有限), 那麼這個極限值就是 f(x) 在
x = x0 處的瞬間變化率.

2015-07-27 10:58:42 補充：
f'(1) = 2, 也就是說衽 x=1 鄰近, f(x) 的變化與 x 的變化大概是 2:1 之比.
例如 (f(1.01) - f(1))/0.01 = .0201/.01 = 2.01, 接近 2:1.