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微積分基本定理
(Part 1)
若 f(x) 在 [a,b] 可積, 定義 F: [a,b]→R 為 F(x) = ∫_[a,x] f(t) dt.
則:
(1) F(x) 在 [a,b] 連續.
(2) 在 f(x) 的連續點, F'(x) = f(x).
(Part 2)
若 f(x) 在 [a,b] 可積. 若在在 F(x) 使得 F'(x) = f(x), for all x in [a,b],
則 ∫_[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a).
且不論 (Part 1) 之證明, 單論 (Part 2).
(Part 2) 之證明, 在初微教本有的是利用 (Part 1), 不過, 那是在
"f(x) 於 [a,b] 連續" 的假設之下的. 因為 f(x) 的連續一方面保證了
f(x) 在 [a,b] 可積, 另方面定義 G(x) = ∫_[a,x] f(t) dt, 則由 (Part 1)
的 (2) 保證了 G'(x) = f(x) = F'(x), 因而得 G 與 F 只差一個常數項,
也保證了 F(b)-F(a) = G(b)-G(a) = ∫_[a,b] f(t) dt.
但在較一般的, f(x) 只是在 [a,b] 可積, 而不必處處連續, 只是需要
有一個 anti-derivative F(x). 這時可用另一個證法, 不需用到 (Part 1),
而是用到 Mean Value Theorem for F(x) on [a,b].
由於 F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 的 anti-derivative 需滿足
(1) F(x) 在 [a,b] 連續,
(2) F(x) 在 (a,b) 可微, 且 F'(x) = f(x), for all x in (a,b).
因此, 在 [a,b] 的任一子區間 [u,v], F(x) 完全適用 MVT, 即存在 w
介於 u, v 之間, 使 F(v)-F(u) = f(w)(b-u).
取 [a,b] 之任一分割 P: a=x_0 < x_1 < ... < x_n = b,
根據 MVT 得知存在 t_1,...,t_n, 其中 x_{i-1} < t_i < x_i,
使得 F(x_i) - F(x_{i-1}) = f(t_i) (x_i - x_{i-1})
所以得這樣的黎曼和
Σ f(t_i) (x_i -x_{i-1}) = Σ (F(x_i) - F(x_{i-1}) = F(b) - F(a).
讓分割細分到無限細, 則因 f 可積, 黎曼和收斂到 ∫_[a,b] f(x) dx.
然而如上選擇之黎曼和是定值 F(b) - F(a), 因此,
∫_[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a).
2015-07-24 12:35:16 補充：
我並不清楚維基百科這一條目的中文版作者為何把平常的 part 1 與 part 2
顛倒...或許有其歷史原由吧? 很慚愧我一向對歷史沒有太大興趣...
事實上我個人一直記不住哪個是 part 1 哪個是 part 2. 在回答這問題時特別
查了一下書, 免得弄錯.
不過, 因為兩部分都是表現微分與積分的關係, 而且可以獨立證明而不是其中
一個 part 要依賴另一 part, 因此, 個人認為何者為 part 1 何者是 part 2, 或
許不是那麼重要. 或者, 一定要區分的話, 應回溯微積分發展歷史, 尊重歷史.
2015-07-24 12:52:08 補充：
注意在習慣稱 part 1 或 the first FTC 中, f(x) 只需要 "可積分", 並不需要有
anti-defivative; 而在 part 2 或 the scond FTC 中, f(x) 需要有 anti-derivative.
然而, 若要利用 part 1 來證明 part 2, 則需要 f(x) 連續. 而若 f(x) 在 [a,b] 連續,
則當然可積, 而且有 anti-derivative.
2015-07-24 12:52:18 補充：
另一方面, 若函數 F(x) 在 [a,b] 連續, 並且在 (a,b) 處處可微, 而 f(x) = F'(x) 當
x in (a,b), 這並不能保證 f(x) 在 [a,b] 可積. 例如 F(x) = x sin(1/x) 當 x≠0; = 0
當 x = 0, 則 F'(x) 在 x 靠近 0 時無界. 因而不是黎曼可積的.
以上表明, 兩個 FTC 是不可相互證明的, 否則就必須對定理中的 f(x) 有所限制.
2015-07-24 12:54:43 補充：
又, 中文維基之 FTC 條目似乎扯上 Lebesgue 積分? 然而這裡談的似乎是
Riemann 積分. 至少我是完全在 Riemann 積分下考慮的.
