算幾不等式相關

1. 半徑為R的圓內接四邊形之最大面積=?
Sol
設四邊形兩對角線夾角w
四邊形面積=(2R)*(2R)*Sinw
最大面積=4R^2

2. 試比較下列三數之大小：0<a<√5，b=(a+5/a)/2，c=(b+5/b)/2
Sol
a>0，b>0，c>0
c=(b+5/b)/2>=√5
c>√5>a
c>√5>a
1/b=2/(a+5/a)=2a/(a^2+5)
4b－4c
=4b－(2b+10/b)
=2b－10/b
=(a+5/a)－20a/(a^2+5)
4a(a^2+5)(b－c)
=(a^2+5)^2－20a^2
=a^4－10a^2+25
=(a^2－5)^2>0
b－c>0
b>c
So
b>c>a

老怪物 師父，應該大意搞錯了啦～

b = (a + 5/a)/2 ≥ √(a × 5/a) = √5

但 a ≠ 5/a (因 0 < a ≠ √5)，故 b > √5。

因此，0 < a < √5 < b

2015-07-22 02:40:41 補充：
四邊形面積
= (2R)*(2R)*Sinw 還是 (2R)*(2R)*Sinw ÷ 2 ？？？

2015-07-22 02:43:26 補充：
http://math.stackexchange.com/questions/332040/area-of-a-quadrilateral-proof

2015-07-24 05:16:00 補充：
不用客氣。

「顯示不出來」
原因是你用了的「 < 」 和 「 > 」 被視作特別字元。
如果這些符號接著立即有其他字元就會顯示不到．．．

如果你想正常打出來，你可以在每個字元之間打一個空格，那就無事。

x < y < z

x > y > z

第1題似乎用不著算幾不等式?

第2題由算幾不等式得 b < = √5, 等式成立條件是 a = √5.
但 0 < a < √6, 所以 a < b < √5 < 5/a.
同理 b < c < √5 < 5/b.
結論 0 < a < b < c < √5.

2015-07-22 08:15:33 補充：
糗了!

確實, b > √5, c > √5.

所以是

a < √5 < b < 5/a
b > c > √5 > 5/b

所以 a < c < b.

2015-07-22 08:35:35 補充：
圓內接四邊形的兩對角線不一定通過圓心, 也就是說其長度不一定是 2R.


甚至, 四邊形四個頂點可能在同一半圓內, 也就是說圓心在四邊形之外. 當然,
應可證這樣的異邊形面積可以改善, 也就是說存在更大面積的圓內接四邊形.

2015-07-22 08:35:46 補充：
如果圓心在四邊形之內, 那麼, 圓心到各頊頂點的4個半徑, 把異邊形區域分
割為4個三角形. 每個三角形其兩邊為半徑, 另一邊是四邊形的邊. 令4個三
角形其圓心頂點那個角分別是 a, b, c, d, 則4個三角形面積分別是
(R^2/2)sin(a), (R^2/2)sin(b), (R^2/2)sin(c), (R^2/2)sin(d)..
而其值在 a=b=c=d=π/2 時最大.