求解惑 微積分

(1) ∫sinx 1/dx 微分元在在分母dx^-1Ans: No!!∫後面必須跟隨dx, 否則不知道對誰(x,t,...)積分 (2) 微分元在分母 是否能作積分或微分呢!? Ans: 不可以!! (3) y = ∫(10~x^2) tant dt; 求y'=?y = ∫(10~x^2) tant dt= F(t) ;;; t = 10~x^2= F(x^2) - F(10)
y' = F'(x^2)*(x^2)' - 0= 2x*F'(x^2)= 2x*tan(x^2) (4) ∫tant dt = ∫f(x) dty' = f(x) | 10→X^2; 必要先積把區間代入在微分呢!?? Ans: 不必!!

積分符號 ∫ f(x) dx 中的 "dx" 並不是獨立存在的東西, 事實上 "∫ dx" 才是一
完整符號, "dx" 只是表明積分的變數是 x 而已, 有時候, 在不虞混淆的情況,
甚至可以把 "dx" 忽略, 只寫 "∫ f(x)" (這在 黎曼積分比較少這樣做, 但在
Lebesgue 積分, 則常忽略積分變數.)


因此, 似乎沒有 "∫ f(x)/dx" 這樣凡東西?

2015-07-19 01:44:39 補充：
若把 ∫ f(x) dx 的 "dx" 當做獨立的, 有意義的符號, 那麼應從定積分來看.
黎曼定積分 ∫_[a,b] f(x) dx 是黎曼和 Σ f(t_i) Δx_i 的極限, dx 可以說是
子區間長度 "Δx_i" 的無窮小版本, 也就是說 [a,b] 被無窮細分後之子區
間長度 --- 是一個無窮小的量.

從這個角度來看, 也應無可能出現 ∫ f(x)/dx 這種型式的 :"積分".

2015-07-19 01:47:19 補充：
∫ tan(t) dt = ∫ sin(t)/cos(t) dt = - ln|cos(t)| + C.

如果所問是這個積分, 就是這麼簡單!

2015-07-21 12:31:46 補充：
看不懂你的符號.

如果是 y = ∫_[u(x),v(x)] f(t) dt, 要求 dy/dx,
那麼, 利用微積分基本定理很容易得到
dy/dx = f(v(x)) v'(x) - f(u(x)) u'(x)

∫_[u(x),v(x)] f(t) dt, 的意思是 積分下限 u(x), 積分上限 v(x).
更正確表示法是 ∫_{u(x)}^{v(x)) f(t) dt, "_{u(x)}" 表明積分號下標是
u(x), 也就是說積分下限是 u(x); "^{v(x)}" 表示積分號上標 v(x), 也
就是說積分上限是 v(x).

會否是打錯題目？

當真是　∫ sin (x) (dx)⁻¹　？？？