數與式相關

1. 設x=√3/2，求(1+x)/[1+√(1+x)]+(1－x)/[1－√(1－x)]=?
Sol
√(1+x)
=√(1+√3/2)
=√(4+2√3)/2
=(√3+1)/2
√(1－x)= =(√3－1)/2
(1+x)/[1+√(1+x)]+(1－x)/[1－√(1－x)]
=(1+√3/2)/[1+(√3+1)/2]+(1－√3/2)/[1－(√3－1)/2]
=(2+√3)/(3+√3)+(2－√3)/(3－√3)
=[(2+√3)(3－√3)+(2－√3)(3＋√3)]/6
=[(6－2√3)+3√3－3)+[6+2√3－3√3－3)]/6
=6/6
=1

2. 化簡√[23－6√(6－4√2)]=?
Sol
√(6－4√2)
=√(4－2*2√2+2)
=2－√2
√[23－6√(6－4√2)]
=√[23－6(2－√2)]
=√(23－12+6√2)
=√(9+2*3√2+2)
=3+√2

3. 若√(7－4√3)+√(a+5√12)屬於有理數，試求自然數a=
Sol
√(7－4√3)+√(a+5√12)
=√(7－2*2√3)+√(a+2*5√3)
=√(4－2*2√3+3)+√(25+2*5√3+a－25)
=(2－√3)+[5+√(a－25)]
a－25=3
a=28

嗚謝 邊位都好 老師 提供另解：

√(7－4√3)＋√(a＋5√12)＝x ⋯⋯⋯ (x 為一有理數)
==> √(a＋5√12)＝x－√(7－4√3)
==> a＋5√12＝x²－2x√(7－4√3)＋7－4√3
==> a＋10√3＝x²－2x(2－√3)＋7－4√3
所以
a＝x²－4x＋7 及 10＝2x－4
即 x＝7
a＝49－28＋7＝28

所以 a＝28 係唯一解