國中資優班入學考題

將原式圖形畫在做標平面上，圖形為一在x=0與x=-1有斷點的拋物線，但題目說XY皆為正偶數，因此可將原式通分並化簡成y=ax^2+bx+c

圖形如下圖所示：
http://i.imgur.com/N9SQCiE.png

X=8、Y=2，因此Y/X=1/4

2015-07-13 00:28:02 補充：
如果試考試無法精確畫圖的話可以先解y=0的解，逐一將x=2,4,6,8代入求y也可以

2015-07-13 01:13:06 補充：
當然甚至可以不必化簡，直接將x=2,4,6,8代入原式，看看有沒有符合題意就可以了，若是計算題需要過程的話建議還是化簡後依圖形作答，這樣比較嚴謹

2015-07-13 14:18:17 補充：
看完樓上大大們的神解 小的甘拜下風阿>

2015-07-13 14:29:15 補充：
也可將(2x－11)^2=121－48y先配方成標準式，找y的最大值為121/48，可知y必為2。
再將Y代回式子可得X為8或3(3不合)

2015-07-13 14:50:14 補充：
假如這題是在國中資優班的入學考試，代表接受考試的學生也才剛學過小六的一元一次方程式，因此要解這題還是不能用二次函數，我記得這是國三才會教的內容。
超進度應該沒那麼誇張，依國小剛畢業的程度，還是把X=2,4,6,8,10依序代入比較實際，也不能從y=2,4,6.....開始代入，因為會出現二次方程式。

令 Y/X = n , 則 Y = nX.
(Y+1)/(X+1) - Y/X = 1/12
(nX+1)/(X+1) - n = 1/12
nX + 1 - n(X+1) = (X+1)/12
1 - n = (X+1)/12
n = (11-X)/12

2015-07-13 05:50:09 補充：
X、Y為正偶數故 n > 0 , 得 11 - X > 0 ⇒ X = 2 , 4 , 6 , 8 , 10.
當 X = 2 得 n = 9/12 = Y/X , Y = 9/6 不合.
當 X = 4 得 n = 7/12 = Y/X , Y = 7/3 不合.
當 X = 6 得 n = 5/12 = Y/X , Y = 5/2 不合.
當 X = 8 得 n = 3/12 = Y/X , Y = 3(8/12) = 2 , 故 Y/X = 2/8 = 1/4.
當 X = 10 得 n = 1/12 =Y/X , Y = 10/12 不合.

(Y+1)/(X+1) - Y/X = 1/12
==> 12X(Y + 1) - 12Y(X + 1)＝X(X＋1)
==> 12X - 12Y = X²＋X
==> X² - 11X + 12Y = 0 ⋯⋯ (*)
因為判別式 ≧ 0，所以
121 - 48Y ≧ 0
==> Y ≦ 2.52
又因 Y 為正偶數，所以 Y＝2。
代入 (*) 得
X² - 11X + 24 = 0
==> (X - 8)(X - 3) = 0
==> X = 8 或 3 (不合, 因 X 為正偶數)
所以，Y/X＝2/8＝1/4

設x、y為正偶數，且滿足(y+1)/(x+1)－y/x=1/12，則y/x之值為何?
Sol
(y+1)/(x+1)－y/x=1/12
12x(y+1)－12(x+1)y=x(x+1)
12xy+12x－12xy－12y=x^2+x
x^2－11x=－12y
x^2－2*x*(11/2)=－12y
x^2－2*x*(11/2)+121/4=121/4－12y
(x－11/2)^2=121/4－12y
(2x－11)^2=121－48y
121－48y>=0
121>=48y
2.521>=y
y為正偶數
y>=2
So
y=2
(2x－11)^2=25
2x－11=+/-5
x=3(不合) or x=8
(2+1)/(8+1)－2/8=1/12
y/x=2/8=1/4

在 x(11 - x) = 12y 這一刻，可以這樣想：

x 是偶
11 - x 是奇
12y 是偶

x × (奇數) = 2² × 3 × y
x 這個偶數比 y 這個偶數 還要多出 2² = 4 這個因數。
可以考慮 x = 4ky 其中 k 是一正整數。

4ky(11 - 4ky) = 12y
k(11 - 4ky) = 3

k 只能是 1 或 3。

得 k = 1, y = 2, x = 8。

2015-07-13 00:53:32 補充：
以上的方法其實是有瑕庇的，因為
　x × (奇數) = 2² × 3 × y
未必可以代表 x 是 y 的倍數，原因是 x 可以有 3 這個因數，而 y 沒有。

所以以上我意見 001 的方法並不是完全正確。

2015-07-13 00:59:15 補充：
另外，已補充解釋：

https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1615071206257

謝謝你的意見。

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2015-07-13 01:37:08 補充：
雖然我未有更佳的解法，但似乎依圖形作答很講究作圖的準繩度。

如果可以的話，我希望有代數解法，那才較嚴謹。

加油！

2015-07-13 11:26:39 補充：
高手雲集～！

太強了！