數學絕對值計算

｜ax+2｜<=b且b>==0，3<=x<=21，求a，b
Sol
(3+21)/2=12
3<=x<=21
3－12<=x－12<=21－12
－9<=x－12<=9
｜x－12｜<=9
｜－x+12｜<=9
(1/6)｜－x+12｜<=3/2
｜－x/6+2｜<=3/2
a=－1/6，b=3/2

｜ax+2｜≦ b , 可推得:
-b ≦ ax+2 ≦ b .....(1式)

以 a 之值來討論,有三種情況:

(1) 當 a = 0
代入｜ax+2｜≦ b , 可推得:
b ≧ 2

(2) 當 a > 0
因為 3 ≦ x ≦ 21
所以 3a ≦ ax ≦ 21a
3a+2 ≦ ax+2 ≦ 21a+2
上式 比對 (1式) 得:
3a+2 = -b .....(3式)
21a+2 = b .....(4式)
(3式) + (4式) 得:
24a + 4 = 0
a = - 1/6 , 與假設a > 0矛盾,故此情況時無解.

(3) 當 a < 0
因為 3 ≦ x ≦ 21
所以 3a ≧ ax ≧ 21a
即 21a ≦ ax ≦ 3a
21a+2 ≦ ax+2 ≦ 3a+2
上式 比對 (1式) 得:
21a+2 = -b .....(5式)
3a+2 = b .....(6式)
(5式) + (6式) 得:
24a + 4 = 0
a = - 1/6
代回(6式)得:
b = 3a+2 = 3(-1/6) + 2 = -1/2 + 2 = 3/2

Ans:
a = 0 , b ≧ 2
或
a = - 1/6 , b = 3/2

(幾何意義: 解為 一射線 與 一點 的聯集)