國一數學難題求解

1)a - b 不是3的倍數, 故3除a、b不同餘,
又a、b都不是3的倍數, 得 a ≡ ±1 (mod 3) 及 b ≡ 干1 (mod 3) ,
則 a³ + b³ = (a + b)( (a + b)² - 3ab ) , 其中 a + b , 3ab 都是3的倍數,
得 (a + b)² - 3ab 也是3的倍數 , 故 a³ + b³ 是兩個3的倍數之積為 9 的倍數。
2)明顯n的個位數為2, 設n的末兩位數為10a + 2 , 則
(10a + 2)³ = 1000a³ + 600a² + 120a + 8 的末兩位數為88,
⇒120a + 8 的末兩位數為88 , a = 4 或 a = 9。設 n = 100b + 42 , 則
n³ = (100b + 42)³ = 1000000b³ + 1260000b² + 529200b + 74088 的末三位數
= 529200b + 74088 的末三位數 = 888 , 則 2b + 0 = 8 , b = 4。設 n = 100b + 92 , 則
n³ = (100b + 92)³ = 1000000b³ + 2760000b² + 2539200b + 778688 的末三位數
= 2539200b + 778688 的末三位數 = 888 , 則 2b + 6 = 8 , b = 1。故最小的自然數 n = 192。
3)設原數 = a10ⁿ + b , (其中 b < 10ⁿ) , 則新數 = 10b + a ,
明顯 a < 5 否則新數比原數位數多。
依題意得 10b + a = 2a10ⁿ + 2b
8b = 2a10ⁿ - a
若 a 為 1、3 則左偶右奇矛盾!
若 a 為 2、4 則 2a10ⁿ 為 8 的倍數從而右方 ≡ - a ≡ 6 或4 (mod 8)
與 右方 ≡ 0 (mod 8) 矛盾! 所以不存在這樣的自然數。

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