Chapter 4 Integration(1)

題目描述似乎不是很清楚?

好像是考慮 y = f(x) = √x, y = 0 及 x = 3 這三曲線所圍區域之面積?

另外, 並不是直接代積分公式, 而是取黎曼和, 求極限.


這也就是 f(x) = √x 曲線下, x 軸之上, x 在 [0,3] 之區域的面積.


採用黎曼和的方法, 將 [0,3] 分割為:
[0, 3/n^2], [3/n^2, 3(2)^2/n^2],...[3(n-1)^2/n^2, 3].

並取 c_i = 3i^2/n^2.

所求區域面積 A ≒ Σ f(c_i) (△i)x, 其中
(Δi)x = 3i^2/n^2 - 3(i-1)^2/n^2 = 3(2i-1)/n^2.

所以,
A ≒ Σ √(3i^2/n^2) 3(2i-1)/n^2 = 3√3 Σ (i/n)(2i-1)/n^2
= (3√3) Σ (2i^2-i)/n^3 = (3√3) (2Σi^2 - Σi)/n^3
= 3√3 [2n(n+1)(2n+1)/6 - n(n+1)/2]/n^3
→ 3√3 (4/6) = 2√3 當 n →∞.



由此當 n 愈大時, 分割愈細, 上列黎曼和所代表的 n 個長方形區域整體
與目標區域愈接近, 因此, 上列極限值就是所要求算的面積 A. 也就是說,
A = 2√3.

我開了耶，您的答案也很好，快去回答吧！
https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1515070707315

老怪物 師父，我同意，有否看看我的連結的方法？

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2015-07-07 01:26:09 補充：
其實題目有數個地方都是打錯的，我在圖中已經修正了。

例如，是 ci 不是 c1，是 n→∞ 不是 x→∞。

2015-07-07 22:31:47 補充：
不必再開一題啦，我把答案移到這裏就好了：

http://postimg.org/image/hj419fagf/