微積分題目求解

射半徑為r 高=h
容積=216π=πr^2h 即h=216/r^2
耗材最少 πr^2+2πrh=π(r^2+432/r)=f(r)
f'(r)=0= 2r-432/r^2 r^3=216 r=6 h=6

2015-06-28 00:36:51 補充：
f(x,y)=ln(xy)+q(x+y-2e)
偏微分 df/dx=y/x+q=0......(1)
df/dy=x/y+q=0......(2)
df/dq=x+y-2e=0.....(3)
由(1)(2)可知 x^2=y^2 即x=y [因為 ln(xy)極大值 所以 x,y同號]
x+y=2e
x=y=e f(x,y)=2lne=2

第3題類似地也可以化成單變量用配方法求解.

ln(xy) 極大 < == > xy 極大.

x+y = 2e, 取 x=e+t, y=e-t,
則 xy = (e+t)(e-t) = e^2 - t^2, 最大值發生在 t=0, 即 x=y=e.
此時 xy = e^2, ln(xy) = 2.


直接用 y = 2e-x 去做亦可.

第２、３題用 Lagrange multiplier method 即可。

但第２題也可以用配方法解決：

f(x, y) = 16 - x² - y² 於 x + y - 6 = 0 的限制即是
f(x) = 16 - x² - (6 - x)²
= 16 - x² - (36 - 12x + x²)
= -2x² + 12x - 20
= -2(x² - 6x) - 20
= -2(x² - 6x + 9) - 20 + 18
= -2(x - 3)² - 2

極大值是 -2，當 x = 3 時出現。